数学概念的结构化教学

缪亚红

[摘要]揭示概念的本质是概念教学的核心。在小学数学概念教学的过程中，教师可以通过结构化手段，从横向结构化、纵向结构化以及综合结构化，让学生多视角、多层次、多维度地理解概念。通过变与不变思想，引导学生排除无关信息，抓住本质特征，从而理解概念的内涵，完成对概念的结构化建构。

[关键词]教学;概念;结构化

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007—9068（2019）32—0082—02

概念是数学的细胞，概念学习是学生数学学习的根基，直接关乎学生数学学习的品质。对于学生来说，掌握一个概念就是要理解概念的内涵、外延、特征、性质以及规律等。为了让学生清晰地建构概念系统，我建议采用结构化教学方式，力图让学生多视角、多层次、多维度地理解概念，完成对概念的结构化建构。

一、横向结构化：引导学生在多维表征中理解概念

皮亚杰认为：“全部的数学知识都可以从结构的建构来考虑，而且这种建构始终是完全开放的……这种结构或正在形成‘更强的结构，或再由‘更强的结构来予以结构化。”学生只有从多个角度来表征概念，才能掌握概念的本质。在小学数学概念教学中，我认为应改变概念表征的外在形式，通过变易——变与不变思想来引导学生在多维表征中理解概念。

在教学“分数的初步认识（一）”时，我先给学生提供了正方形的纸，让学生用自己的方式表示这张纸的二分之一。学生有不同的表示方法，有学生涂色表示，有学生对折表示，还有学生在正方形内画出一条直线，将图形分成完全相同的两份来表示。接着，我组织学生展开讨论：为什么涂色、对折都可以表示这张纸的二分之一呢？除了这些涂色、对折的方法外，还有没有其他的方法能表示这张纸的二分之一呢？这些问题引发了又一次深度探究和激烈争辩。学生通过用多种方法对二分之一进行表征，对二分之一的本质有了深刻的认识。之后，我给学生提供了一些素材，包括一个圆形、一根一米长的绳子、一瓶果汁等等，让学生描述这些物体的二分之一。丰富的素材不仅让学生认识了二分之一，更让学生明确了“怎样得到二分之一”“得到了谁的二分之一”，为学生学习单位“1”的量奠定了坚实的基础。

横向结构化，让学生从多个视角表征分数，包括同一素材的不同表征、不同素材的相同表征。多元概念表征给了学生充分比较、思考、交流、辨析的机会，从而实现了对分数概念的意义建构。由于学生在多元表征中建立了丰富的表象，因而对分数的理解就更为深刻。横向结构化的多维表征，有助于学生的结构化思维由操作水平提升为分析水平，由具象走向抽象，由外延走向实质。

二、纵向结构化：引导学生在深层表征中理解概念

布魯纳深刻地指出：“掌握事物的结构，就是允许别的东西与它有意义地联系起来。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”一个人对事物的表征方式通常有三种：直观动作表征、具体形象表征和抽象逻辑表征。纵向结构化，就是引导学生从外在的直观动作表征过渡到内在的符号意义表征，让学生在深层表征中理解概念。

例如，在教学“认识线段”时，我引导学生用动作、形象、符号等不同方式认识线段的概念，帮助学生掌握线段的本质。首先，我让一位学生玩溜溜球，引导学生观察溜溜球的线的变化。学生发现，在球下落时，线被拉直，此时学生心中会建立“直直的线”的表象。接着，我动手操作，将一根弯弯的毛线拉直，多次移动捏住毛线两端的手的位置，并让学生指出线段是从哪儿到哪儿，从而帮助学生建立“端点”表象，认识到线段是“有长有短”“有限长”“可度量”的。在操作表征的基础上，我用手捏住一根毛线并将它“请”到黑板上，然后用两个磁铁固定，让学生用笔画出毛线的长度，并思考：怎样表示两个磁铁的位置？由此，学生在线的两端画出了两个小圆点。再接着，我拿出一张纸，折出一道折痕，让学生判断折痕是否是一条线段。学生通过分析知道：折痕是直直的，有起点和终点，因此它是一条线段。同时学生深刻地认识到，手、磁铁等都不是线段的一部分，它们的作用只是帮助我们表明线段起点和终点。最后，我要求全体学生闭上眼睛，想象线段的模样。学生画出长短不一的线段，在观察线段后，学生抽象出线段的共同特征——线段是直直的，且有两个端点。

从对线段的直观动作表征到对线段的具体形象表征，再到对线段的抽象符号表征，学生穿行于具体、半抽象与抽象之间。各种表征之间紧密关联，既有助于学生把握线段的本质，又有助于学生将线段形象化、具体化。如此教学，学生对概念本质的理解便水到渠成，数学学习自然能拾级而上。

三、综合结构化：引导学生在关系表征中理解概念

教育心理学家奥苏贝尔深刻地指出：“当学习材料本身具有逻辑意义，而学习者的认知结构中又具备适当的知识基础，那么，这种学习材料对于学习者就构成了潜在的意义。”在概念教学中，教师要努力在数学概念与学生的概念学习之间建立联系，从而助推学生理解概念。学习概念不仅仅依靠揭示概念本质的材料，还依靠概念之间相互依存的关系。只有在具有系统性、结构性的概念中探究，概念的本质才会更加敞亮。

综合结构化，既包括横向结构化，即对数学概念进行聚类揭示，又包括纵向结构化，即对数学概念进行分类揭示。综合结构化能促进学生的概念同化，从而不断优化学生的概念结构。例如，在教学“三角形的认识”时，其中难点就是三角形的高。根据课前调查，我发现许多学生认为自上而下、竖直的线段就是三角形的高。基于此，我先让学生复习“点到直线的距离”，让学生过直线外的一点作已知直线的垂线。然后，我借助多媒体课件，用各种变式（标准正例、非标准正例）将点到直线的垂线呈现出来。学生透过各种变式，能捕捉到互相垂直的本质——两条直线相交成直角。如此，学生在画锐角三角形的高时，就能分别从三个顶点作对边的垂线。在此基础上，我出示直角三角形、钝角三角形，让学生分别作它们的高。在后续教学平行四边形、梯形的高时，我及时将三角形的高融入其中，如此，学生就能通过直线上的一点作垂线、过直线外的一点作垂线、过三角形的三个顶点作垂线、在平行四边形两条对边之间作垂线以及在梯形的上底、下底之间作垂线。

数学概念之间是存在着千丝万缕的联系的，每一个数学概念都有共通性。通过概念的结构性关系，可以让学生深化概念的本质。在概念教学中，教师不仅要提供正例，还应该提供反例，通过正例、反例变式、多维、多向变式，不断完善学生的概念结构。

概念教学，基于学生的“生活化经验”来提升学生的“结构性理解”。小学数学概念结构化教学，是以变与不变思想为手段的。在概念建构中，教师不仅要重视概念与学生生活的关系、概念与学生认知心理的关系，还要重视概念与概念之间的关系。学生对数学概念的理解是由浅入深、由经验及本质、由表及里的，只有表征形式不断变化，才能让学生理解概念的本质，从而促进学生对概念的建构。

（责编 黄露）