不落俗套 实时创新——算法创新题赏析

■陈 琳

高考中算法初步知识以考查算法思想为主线,与函数、数列、三角函数、统计等知识进行交汇考查,是高考命题的新“靓”点。这类问题要求同学们对新颖的信息、情景的设问,选择有效的方法和手段收集信息,灵活地运用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题。算法创新题在高考试题中也并不少见。现解读几例,供大家学习与参考。

一、算法与统计的交汇

例1高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示,如图1所示。执行图2所示的程序框图,若输入的ai(i=1,2,…,15)分别为这15名学生的考试成绩,则输出的结果为( )。

图1

图2

A.6 B.7

C.8 D.9

解：由程序框图可知,其统计的是成绩大于或等于110的人数。

由茎叶图可知,成绩大于或等于110的人数为9,因此输出的结果为9。

应选D。

评析：解答算法与统计的交汇题,关键是正确理解与运用统计知识,同时要读懂程序框图的含义。

二、算法与概率的交汇

例2执行图3所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=xa,x∈[0,+∞)是增函数的概率为( )。

图3

解：执行程序框图可得,x=-3,y=3;x=-2,y=0;x=-1,y=-1;x=0,y=0;x=1,y=3;x=2,y=8;x=3,y=15;x=4≤3不成立,这时退出循环。

故集合A中的元素为-1,0,3,8,15,共5个。若函数y=xa,x∈[0,+∞)为增函数,则a＞0,所以所求的概率为

应选C。

评析：解答算法与概率的交汇题,必须明确概率模型,借助于算法框图,求出基本事件的总数和满足条件的事件个数。

三、算法与数学文化的交汇

例3我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日长七寸;瓠生其下,蔓日长一尺。问几何日相逢。”现用程序框图描述,如图4所示,则输出的结果n=( )。

图4

A.4 B.5

C.6 D.7

解：执行程序框图可得,a=0.7,S=0,n=1,S=1.7。

不满足条件S≥9,执行循环体,n=2,a=1.4,S=3.4;

不满足条件S≥9,执行循环体,n=3,a=2.1,S=5.1;

不满足条件S≥9,执行循环体,n=4,a=2.8,S=6.8;

不满足条件S≥9,执行循环体,n=5,a=3.5,S=8.5;

不满足条件S≥9,执行循环体,n=6,a=4.2,S=10.2≥9成立,这时退出循环,输出n的值为6。

应选C。

评析：本题以传统数学文化为载体,考查算法的实际应用。解答本题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,再模拟执行程序框图,从而使问题得到解决。

四、算法与线性规划的交汇

例4执行图5所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出S的最大值为

图5

解：由程序框图可知,当条件x≥0,y≥0,x+y≤1不成立时,输出S的值为1;当条件x≥0,y≥0,x+y≤1成立时,输出S=2x+y。下面用线性规划的方法求出此时S的最大值。不等式组表示的平面区域如图6所示的阴影部分。

图6

由图6可知,当直线S=2x+y经过点M(1,0)时,S最大,其最大值为2×1+0=2,即输出S的最大值为2。

评析：解答算法与线性规划的交汇题时,读懂程序框图,明确交汇的知识点,将问题进行合理转化是解题的关键。