第二类代数和对数奇异Fredholm 积分方程的退化核方法

郭嘉玮，廉 欢

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

考虑如下形式的第二类Fredholm 积分方程

其中：λ≠0 是参数；f（x）、k（x，y）为已知函数；u（x）为待求函数.k（x，y）称为积分方程（1）的核函数，假设核函数k（x，y）与右端项f（x）具有满足需要的最低阶光滑性以使积分方程（1）存在唯一的连续解[1]. 方程（1）广泛应用于一些科学计算与工程问题中. 通常情况下，对于变量可分离的核函数来说，退化核方法[2-5]是一种简单有效的方法.对一般的核函数来说，可以通过插值或级数展开得到变量分离的核函数.当方程（1）的核函数在区间端点奇异时，由于函数在奇点处不存在通常意义上的Taylor 级数展开式，且整数次多项式插值逼近精度较低，所以，对这种情形，传统的退化核方法的计算精度会显著下降.针对核函数在积分区间一端或两端代数奇异的方程，文献[6]利用分数阶Taylor 级数展开构造了分数阶退化核方法.本文针对方程（1）的核函数既代数奇异又对数奇异的情形，设计了一种基于Puiseux 级数[7]展开以及分段混合插值的退化核方法.

若函数f（x）包含因子|x-x0|α，这里α ＞-1 且不是整数，则称 f（x）在 x0处代数奇异； 若函数 f（x）包含因子 lnμ|x-x0|，这里 μ 为正整数，则称 f（x）在 x0处对数奇异.函数在奇点处不存在通常的Taylor 级数展开式，但存在更一般的Puiseux 级数展开式，其一般形式如下

设积分方程（1）中的核函数 k（x，y）在积分区间的端点代数奇异且对数奇异，本文利用分段混合插值构造近似退化核.在包含奇点的小区间上使用关于变量y 的Puiseux 级数构造退化核方法，与通常的Taylor级数性质类似，有限项Puiseux 级数展开式也仅在奇点附近有较高的精度，当远离奇点时精度下降；在其他区间上使用标准的分段线性插值来逼近核函数.数值实验表明，该混合退化核方法对于该类方程有着较高的计算精度.

1 混合线性插值方法

1.1 算法构造

考虑积分方程（1），其核函数 k（x，y）在 y=a 处代数且对数奇异，设k（x，y）的Puiseux 级数展开式为

其中：-1 ＜ α1≤α2≤…，αj不是整数，αj→∞（j→∞）； βj为非负整数.将积分区间[a，b]划分为n 个子区间，设第 j 个子区间的长度为 hj，记 a0= a，aj= aj-1+ hj，j =1，2，…，n，由积分区间的可加性，积分方程（1）可改写为

下面以分段线性插值为例，构造 k（x，y）基于Puiseux 级数展开和分段插值的离散退化核. 在区间[a0，a1]上，核函数 k（x，y）在区间的端点 y = a 处有Puiseux 级数展开式（3），取有限项如下

由于函数的有限项Puiseux 级数展开式仅在y = a 附近逼近精度高，因此在剩余的区间[ai-1，ai]，i=2，3，…，n 上利用分段插值来逼近核函数.为了保证逼近函数整体的连续性，需要对式（5）进行修正.对于分段线性插值，令

其中η（x）为待定函数，满足线性插值条件k1（x，a1）=k（x，a1），计算得

在下文中，为方便，仍用 cm（x）代替得到的 η（x），即将式（6）重新记作

直接计算可得式（7）的插值余项为

其中

当 βj- βm≤0 时，将 σ（y）变形为

当 βj- βm＞ 0 时，则有

由此可得，在区间[a，a+h1]上有|η1（y）|≤1，|η2（y）|≤1.

在区间[ai-1，ai]，i = 2，3，…，n 上做核函数 k（x，y）关于自变量y 的线性插值，使用 Lagrange 插值公式，有

其中

用构造的分段函数ki（x，y），i=1，2，…，n 近似代替原方程中的核函数k（x，y），并记得到的近似解为un（x），则un（x）满足

将式（9）改写为向量形式

其中

显然，Bi，i=1，2，…，n 为未知向量，下面给出确定这组未知向量的方法.

首先，方程（9）两边同时乘以（x-a）αqlnβ（qx-a），q=1，…，m，并在区间[a0，a1]上对 x 积分，得到

其中 Bi，j为 Bi的第 j 个分量.将式（11）写作向量形式

其中

这里，向量 C1、F1、D1，i中的元素均为弱代数和对数奇异积分，可以利用修正的Gauss-Legendre 求积公式[8]计算，基本算法如下：记I[g]=，其中 g（t）代表以上向量中的被积函数，利用Gauss-Legendre 求积公式有

其中 σλ＞ 0 和 θλ∈（0，1），λ =1，2，…，r 分别是 Gauss-Legendre 求积公式的权重和节点. 下面给出修正的Gauss-Legendre 求积公式及其误差主项.

引理1[8]设函数g（t）在端点t=a0处代数奇异且对数奇异，且有类似式（2）的Puiseux 级数展开式成立（取x0=a0），则修正的 Gauss-Legendre 求积公式 Q[g]为

其误差主项为

利用引理 1 可以高精度地计算 C1、F1、D1，i中包含的奇异积分. 对于剩余不包含奇点的区间[aj-1，aj]，j=2，3，…，n，将方程（9）两边同时乘以lj，γ（x），γ = 1、2，并在区间[aj-1，aj]上对 x 积分，得到

将式（16）写成向量形式

其中

联立式（12）和式（17），并令

则积分方程（1）被离散为一个线性代数方程组

这里，为了使线性方程组（18）的解存在且唯一，需要假定λ 不是系数矩阵A 的特征值.此外，本节仅给出了核函数在区间左端点奇异时的混合退化核方法，类似可得核函数在区间右端点奇异时的混合退化核方法，从而可以计算核函数在区间两端代数和对数奇异的第二类Fredholm 积分方程.

1.2 收敛性分析

记Ln（x，y）为上一节构造的混合插值退化核，将离散后的方程（18）写成算子方程的形式

为分析其收敛性，先给出一个引理.

引理2[1]记

由引理2，为说明算法的收敛性，需要证明当h→0 时，有 ρn→0.ρn由核函数关于变量 y 插值产生的误差以及对函数奇点所在区间利用Puiseux 级数展开逼近而产生的误差两部分组成.

可得

记Mj|cj（x）|，则当βj-βm≤0 时，有

当 βj- βm＞ 0 时，有

由式（21）及其误差估计可得如下定理.

定理设核函数 k（x，y）关于 x 在[a，b]上连续，关于 y 在（a，b]上二阶可导，且在 y=a 点存在 Puiseux 展开式.若级数有界，则当 h→0，m→∞时，所得近似解un（x）一致收敛于精确解u（x）.

需要指出的是，上面定理给出了算法的收敛性分析，为使算法收敛，在展开式中，代数多项式的次数和对数的次数需满足一定的关系，这在数值算例中有所体现.由于代数和对数奇异的积分方程（1）的精确解很难求出，为了估计计算精度，下面给出算子误差的定义.

定义设un（x）为通过退化核方法求解方程（1）得到的数值解，称

为近似解un（x）的算子误差函数.

其中C=|λ|+‖K‖.由以上推导可以看出，当un（x）→u（x）时→0；当un（x）= u（x）时，（x）≡0. 因此，可以使用（x）来检验数值算法的有效性.

2 数值算例

用混合线性插值法求解如下第二类Fredholm 积分方程

方程（23）中，Mj=由于函数 g（x）=xj|ln x|2j在区间[0，1]上当 x=e-2时取得极大值 g（e-2）=（2/e）2j，因此，对于固定的 m，当 h1＜ 1 时，级数|ln h1|j-m有界.由定理可知，当 h→0 时，所得近似解uapp（x）收敛于精确解.

固定奇点所在区间的长度为h1=0.1，并在式（5）中取m = 12，表1 给出了在不同步长h 下，自变量x =0.05、0.2、0.4、0.6、0.8 和 1 时，方程（23）算子误差的计算结果.

表1 取不同步长时方程（23）算子误差的计算结果Tab.1 Calculation results of the operator errors for Equation（23）with different steps

由表1 可以看出，随着步长的减小，算子误差逐渐变小，并均匀分布在整个积分区间上. 当x = 0.05时，算子误差的精度也较高.

当h=0.01 时，图1 给出了解uapp（x）的图像. 由图1 可以看出，方程的解在x=0 点处导数奇异，而表1 显示，在积分区间[0，1]上算子误差始终在10-5量级，这说明利用Puiseux 级数来处理端点奇异的方法是可行的，本文提出的方法对核函数在端点代数且对数奇异的方程具有良好的计算效果.

利用传统的 Nyström 方法求解方程（23）. 采取复合梯形公式，当h=0.01 时，Nyström 方法的算子误差（x）和本文算法的算子误差（x）如图2 所示.由图2可见，Nyström 方法所得近似解的算子误差比本文算法的误差大很多.另外，由图2 还可看出，本文算法所得近似解在积分区间[0，0.1]上的误差很小，说明针对积分区间端点代数且对数奇异的核函数，本文的方法是成功的.

图1 当h=0.01 时方程（23）的解uapp（x）的图像Fig.1 Curve of uapp（x）for Equation（23）when h=0.01

图2 当h=0.01 时方程（23）的2 种算法的算子误差曲线Fig.2 Logarithmic plot of the errors computed by two algorithms for Equation（23）when h=0.01

3 结语

针对核函数在区间端点既代数奇异又对数奇异的第二类Fredholm 积分方程，提出了一种基于Puiseux 级数展开的混合型退化核方法，并对该方法格式的收敛性进行了分析.数值算例的结果表明，本文方法可以很好地求解这种类型的端点奇异积分方程，且计算精度较高，优于传统的Nyström 方法.