数学美在大学数学教学中的作用

赵 良

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)

一、数学美的含义与作用

美是客观事物的一种自然属性，数学同各门自然学科一样, 也有其独特的美学特征。 数学家罗素说过，“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且具有至高的美。”数学美本质上反映的是数学对象蕴涵的美学属性。数学家亚里士多德也认为:“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、均称和确定性，这些就是数学所要研究的范畴。所以，数学和美不是没有关系的。”一般认为，数学美是通过数学的符号、公式、理论、结构、方法、应用等表现出来的，其基本形式有简单性、对称性、统一性、和谐性、奇异性、思维性等。

数学是一门比较抽象的学科, 特别是大学数学又具有高度的抽象性和信息量大等特点。对于某些数学对象来讲,其内在的美只有通过学生的学习活动才会体现。教师在课堂教学时如果单纯地照搬课本，那么学生就会感到枯燥乏味，进而会影响到他们的审美情趣和学习态度。但是，如果教师能在所讲内容的基础之上，将数学美应用到大学数学的课堂教学中，让学生充分感受到数学的内在美，那么就会让学生产生强烈的求知欲，并对所学内容产生浓厚的学习兴趣。同时，学生也就会将被动学习转变为主动学习，他们的学习积极性也会被极大地调动起来。这就要求教师在课堂教学中，要不断培养学生的审美意识，不断增强他们的学习兴趣，使课堂展现出更强的活力和魅力。

二、数学美的分类与应用举例

(一)数学的简洁美

自从数学符号被引入到数学中以来，数学公式和结论的简洁性便一直贯穿数学的发展。 数学美的简洁性是指通过最少的符号和内容，给出一个尽可能完美的结论和结果。在给学生讲授一些数学知识特别是一些比较抽象的数学概念时，结论和概念的简洁性往往有助于学生理解。当然，简洁的概念和结论不一定简单，但是当把这些向学生解释清楚，学生理解消化后往往给人的感觉又特别奇妙，从而给学生一种美的享受。 例如，著名的欧拉公式，表达式简洁明了，但包含的意思却比较广泛。 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系式：V+F-E=2，这个公式就叫欧拉公式。

欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 它的意义在于证明的思想方法创新，揭示了图形从立体图到拉开图，虽然各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，但顶点数、面数、棱数等不变。

(二)数学美的对称性

数学中的对称性, 既是一种思想，又是一种方法, 往往在解决问题时会产生出人意料的结果。它的主要作用在于，对于处理一些关于对称性的数学问题时，我们往往可以只考虑其局部的性质和结论，而不必考虑整个复杂的整体性质，这样就达到了化繁为简的目的。 具体到教学中，我们在讲授一些关于对称性的问题时，首先要向学生讲明处理这类问题的方法和条件，其次要提醒其注意适用范围，否则就会适得其反。 一旦学生掌握了这类关于对称性的数学问题的处理方法后，就会有一种成就感，就会增强学习积极性。

例如，利用对称性可以大大简化对三重积分的计算。在向学生讲解利用对称性计算三重积分时，首先要强调以下两点，以免张冠李戴：(1)积分区域关于坐标面的对称性；(2)被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性。 然后让学生计算三重积分：

其中积分区域为：Ω={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1|}。通常学生都会利用三重积分的常规方法进行计算，但计算过程复杂而且结果往往有误。等学生用常规方法做完上述三重积分后向学生提问：有没有更简单的其它方法？鼓励学生积极思考问题，最后分析本题的特征，给出利用对称性计算方法后再给出正确答案为零。

(三)数学美的统一性

统一与和谐, 是数学美的又一重要特征。数学上的好多结论和公式都可统一为一个比较简单的形式。数学家希尔伯特曾经指出:“数学是一个有机整体, 它的生命力的一个必要条件是指所有各部分的不可分离的结合。 数学的有机统一, 是这门科学固有的特点, 因为它是一切精确自然科学知识的基础。”因此，我们可以这样理解数学的统一性，即统一性是数学发现与创造的重要方法之一。

例如，牛顿—莱布尼兹公式、 格林公式、 高斯公式、 斯托克斯公式这四个微积分学中的重要公式, 都是描述了“区域内”的积分与“区域边界”上相应积分的统一关系。 通过对这些统一性的理解与掌握，学生可以很清楚地理解积分的本质：即所有的各种积分都是和式的极限。 同时，也给出了各种积分之间的联系，说明了任何知识点都不是孤立地单独地存在，而是与其它知识密切相关的。 这样，通过总结学生就可以站在一定的高度来理解和把握这些内容，从而有整体上驾驭和运用这些知识的能力。

(四)数学美的奇异性

数学的奇异美，是指数学结论或解决问题方法的新颖、奇巧、出乎意料，往往勾起思想上的震动，引起人们的赞赏与叹服。这种方法当你不理解时感觉在意料之外，但当你理解了之后感觉又在情理之中，从而一旦有新的奇特的方法发现可以解决问题时，往往会给人以喜出望外的感受。例如，在讲正项级数：

的收敛性时，为了调动课堂的气氛，可以给学生提一个相关的正项级数问题：这个级数的特征是什么？答案比较容易，即它的每一项是自相似性，即它的每一项都是自然数的次方。 然后让学生拿出纸和笔，开始和学生画一个有趣的图形——科赫雪花，而与科赫雪花有关的周长和面积则得到两个相应的正项级数。

它的构造方法如下：(1)任意画一个正三角形，并把每一边三等分；(2)取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；(3)重复上述两步，画出更小的三角形；(4)一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。 图1是这一过程前几步的图形：

图1 科赫雪花构造

上述结果表明，科赫雪花图形的面积是有限的，但周长却是无穷大的！这个结果绝对出乎学生的意料，也与我们通常的经验相矛盾，这就激发了学生的好奇心和求知欲，增加了对正项级数收敛性判别方法的兴趣，学习的积极性也会增强。

(五)数学的思维美

我们知道，数学的逻辑思维严密，能够使我们全面考虑问题，从而正确地解决问题。 如果在课堂上讲授一些内容之前，先将这些知识的背景和来龙去脉讲清楚，使学生能够充分理解这些知识的意义，就会激发他们积极考虑问题的热情和兴趣，使他们在情感上得到数学美的感受。这样既加深了学生对知识的了解，培养了他们的学习兴趣，又提高了课程的教学效果。 点集拓扑学是一门很抽象的学科， 是建立在一般的距离空间的基础之上的，所涉及的内容和概念都高度抽象，它推广了一般距离空间上的诸如连续、收敛、开集、聚点等的相应概念，从而具有更广泛的适用性和包括性。 为了增加学生对该课程的兴趣，让他们了解该课程的由来及发展，调动他们的学习积极性，可以讲一下在拓扑学发展中重要而有趣的哥尼斯堡七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图2(a)所示。 城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里,欧拉很快证明了这样的走法不存在。 欧拉是这样解决问题的：把图中被河隔开的陆地看成四个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2(b)所示。

图2 哥尼斯堡七桥问题

这样问题可以转化成从四个点中的任意一个出发，每条线只能走一次，最后回到这一点。 所以从每一点出发的线的条数只能是偶数，而图中每一点处都只有奇数条线，故不可能。

此时再向学生提问：上述问题的本质特征是什么？经过讨论后得出的结论是：所讨论问题与图形的大小、形状无关，只与图形的连接关系有关，这也即是点集拓扑学的特征。 经过这一问题的讨论，既增加了学生对该课程的兴趣，也对本课程的处理问题的方法和特征有了一定的认识和了解。

(六)数学的和谐美

数学是一门严谨的学科，对于某些内容，在不同的研究范围同一个概念和定理的表达形式可能不同，但其本质上却是一样的，即不会产生矛盾，它们是和谐统一的。和谐性也是数学美的特征之一。这就要求我们在上课时，在讲解一些比较抽象而且不易懂的内容时，可以通过先讲解该抽象概念的特殊形式，让学生理解其本质。最后，再引入新的概念，把新的知识与学生已有的知识统一起来，达到既掌握新知识又复习老知识的目的。

例如，我们已知欧式空间和距离空间都是拓扑空间的特例，而且欧式空间和距离空间的连续性是学生已经熟悉的内容。 这些空间的包含关系如下：

为了讲解拓扑空间的连续性这一抽象的概念，我们可以先复习欧式空间和距离空间连续性的定义，然后归纳总结其本质，再给出拓扑空间连续性的定义。 然后分析这三个定义的本质，最后再指出它们本质上是一样的。

三、结语

在教学过程中，教学效果很大程度上取决于学生的学习积极性，因此如何调动学生的学习积极性是课堂教学的重要目标之一。在课堂教学中，教师如果能利用数学美来培养学生的审美能力，让他们充分地感受和欣赏数学中的美，就会不断激发他们的学习兴趣。 更重要的是，利用数学美还可启迪学生思维和开发他们的创造力，例如统一性可对命题作出类比、推广和引伸，奇异性可激发学生探索和创新精神。总之，在教学过程中教与学是两个密不可分的过程，如何通过教师的教来调动学生的学习积极性，是学生培养过程当中非常关键的一环。 教师若能够积极挖掘和应用教材中的各种美学因素，使每一节课的内容都丰富多彩并充满趣味性，就会极大地提高学生的学习积极性和创造力，并提高他们分析问题和解决问题的能力，这与我们教学的根本目的是一致的。