挖掘数学文化 践行学科育人

严必友

(南京市教学研究室 210013)

今年6月，我有幸参加了江苏省中小学教研室李善良博士主持的课程教学改革重大研究项目“高中数学文化教育研究”的中期评估，受益良多.该项目以高中数学教材中文化元素的挖掘、梳理、整合、渗透为重点，建构起高中数学教学的文化连廊，使学生在数学学习中感受到沿途美丽的风景，发现数学知识是立体的、生动的、相互联系的，体会到数学文化的无穷魅力，促进了思维发展和智慧涵养.

在当前的数学教学中，存在着较为严重的重结论、轻过程，重技能、轻思维的现象，教师往往过于注重知识本身的教学，挖得很深，讲得很难，而缺乏对知识意义、价值以及和相关知识、生活经验内在联系的挖掘，导致学生的数学学习是片段的、孤立的、肤浅的、枯燥的.

著名数学家柯朗《数学是什么》的序言中写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机.数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练.数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系.教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础.”

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“要强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透.”“不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”.

狭义的数学文化是指数学的语言、观点、方法、思想、精神，以及它们的形成和发展过程；广义的数学文化除上述内容之外，还包含数学史、数学家、数学美和数学教育等.

数学作为一种文化现象早已成为人们的共识，它以其独特的符号、语言、思维和逻辑结构浸润着人的思想和心灵，影响着人的言行、思维方式、处事方式和价值观念，成为人们认识世界、探索世界、描述世界的重要工具.因此，挖掘数学文化，以数学文化滋养学生，既是培育核心素养的时代任务，也是落实学科育人的本质追求.

1 在先贤的智慧中了解文化

恩格斯说：“数学像所有别的科学一样，起因于人们的需要.”数学发展的历程体现了人类探索世界、认识世界的历程.在此过程中，许多先贤用他们的勤劳和智慧不断探索着现实世界事物运动变化的客观规律以及内在的联系、结构，丰富、完善着数学这座神奇的大厦.数学教材是课程的载体，其背后蕴含着丰富的史料，这些史料具有极其重要的育人价值，能够让学生了解到数学知识、概念形成的时代背景和历史条件，认识到它们与社会生产实践的关系，与人类认识发展的关系.

德国哲学家海德格尔的“显隐”说告诉我们：任何事物都是集背后无穷多未显现的东西于当前的一个聚焦点.在数学教学中，教师的眼中不仅要有概念、公式、定理，还要有与它们相关联的其它知识和内容，以及它们之间的关系和内在逻辑.能否挖掘出这些联系和逻辑，体现出教师专业素养的深度和高度.

比如，高一年级学习集合的时候，学生往往觉得抽象难懂，教师可以穿插对集合论产生、发展和完善的历程进行介绍，以增长见识，激发兴趣.十七世纪，牛顿和莱布尼茨创立了微积分，在此后的一百多年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般性地提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.在建立集合概念的基础上，康托尔又开始向“无穷”迈进.在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光尽可能回避这一概念.但试图把握无穷的康托尔却勇敢地把无穷集这一词汇引入数学，从而开辟出一个奇妙的新世界.他从本质上揭示了无穷的特性，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程.

通过这一段数学史料的学习，学生不仅加深了对“集合”概念的理解，把握实数集与数轴上的点的对应关系，认识到“集合”的产生在数学发展史上的重要作用，而且能够激发学生学习数学的兴趣，探究数学知识形成的过程，在数学知识体系中的地位，与相关知识的联系，从而起到数学文化育人的效果.

再如，在学习算法初步时，教师可以对我国古代灿烂的算法文化特别是《九章算术》进行介绍.《九章算术》的内容十分丰富，全书收集的246个问题都是与生产、生活实践有着紧密联系的应用问题，每道题有问、答、术，依据性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股共九章，充分体现出我国古代劳动人民的聪明智慧，激发学生的民族自豪感，引导他们在生产、生活实践中学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维分析世界，打通数学知识与日常生活的联系，使数学知识得以“活化”.

2 在数学的内在规律、逻辑中感受文化

杨振宁教授在“美在科学与艺术中的异同”一文中写道：“所有物理学研究的最后结果就是一组数学方程式.包括牛顿的运动方程式、麦克斯韦方程式，以及爱因斯坦的狭义和广义相对论方程式、狄拉克方程式和海森伯方程式.”因为数学是“上帝描述世界的语言”，是揭示事物之间联系和事物运动变化规律、模型的工具.

数学学科具有极强的概括性、逻辑性和简洁性，在沟通联系、揭示规律、提炼模型等方面有着独特的功能.这次新课改提出要让学生学会“用数学的语言表达世界”，就是要培养对事物的内在规律的概括能力，用简洁、优美的数学关系式表达出来.教学中，教师要引导学生努力探寻数学概念之间的内在联系，从而建立结构化的知识体系.同时，要努力帮助学生在学科符号与日常生活之间建立有机的联系，逐步理解符号内在的意义，体验符号背后的思想观念.

学生在学习“等差数列”的过程中，往往会觉得概念多、关系多、运算复杂，从而产生畏难情绪.其实，等差数列的教学中有着十分丰富的文化要素，教师要善于挖掘、提炼，让学生感受、领悟.首先，等差数列在学生的日常学习和生活中存在着大量的案例，是每个人都触手可及的.通过这些案例的学习，让学生感受到等差数列就在他们的学习、生活实际中；其次，等差数列其实就是一次函数当自变量依次取正整数值时的一列函数值，是一条直线上均匀分布的一列点的纵坐标.因此，可以用学过的一次函数来解释和解决等差数列的有关问题；再者，等差数列中的几个量a1,an,d,n,Sn之间存在着密切的联系：

其实，数学教材的每一章内容和每一个概念都是一个完整的体系和结构，都可以用几个基本量和关系式将其中的内在联系提炼出来，这就是数学的内在规律和逻辑.只有让学生领会、掌握这些规律和逻辑，才能把握内在的本质，体会到数学的简洁和美感.

3 在真实的思考、创造中体验文化

清华大学心理学院院长彭凯平教授指出：“真正的求知需要心理的参与：思考，想象，描述，沟通，交流，感染，体会.”“思维的过程就是将知识打上自己的烙印.用心理学的观点，是将概念依照自己的思路纳入到自己的概念系统之中.”学生的数学学习需要真实的思维参与，在参与中体验，在体验中感悟，在感悟中提高认识.因此，教师要积极引导学生在数学学习过程中的心理参与和思维参与，充分体会到数学概念的形成和发展的历程.

如：“复数”的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.但是，复数的进化是数学史中比较奇特的一章，那就是它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性.数学与测量或实用计算之间的关系使实数具有某种实在感.可是，复数的情形却不一样，谁也不知道复数会带来怎样的实际用途，这是在崭新的方向上走出的一步，提出了纯理论的创造.

教学过程中，教师从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家卡当的问题.一方面让学生回忆、归纳数的概念的发展和数系扩充的过程，感悟数的概念产生于实际需求与数学内部的矛盾，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会学习新知的必要性和合理性.另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.教学过程中让学生经历与数学家一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受到数学家就在自己的身边，数学家并不神秘，他们也曾有解不开的难题，小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人们接受；数学发现并不神秘，数学家们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍；数学并不神秘，只要我们“更新观念”，跳出原有的旧框框，一片更为广阔的数学天地便会展现在面前……数学的文化内涵在历史的脉络中体现得淋漓至尽，学生感受的是思维的发展历程和浓浓的数学文化气息.

再如，在“圆锥曲线的统一定义”教学中，应引导学生从不同曲线的不同的“比值”和图形里探寻相互之间的联系、共同的结构和本质特征，体验数学文化里“从混沌中看到秩序，从矛盾中看到统一”的辩证统一思想.

前面已经学习了椭圆、双曲线、抛物线，并且将它们称为圆锥曲线.其中：椭圆的离心率01.那么是否有离心率为1的曲线呢?它是抛物线吗?

学生猜想有可能是，但观察到椭圆和双曲线的离心率是焦距与长轴(实轴)长的比值，抛物线中不存在类似的量，从而产生了疑惑，怎么办？

引导学生回顾抛物线的定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹.距离“相等”的时候这样的轨迹是抛物线，那么“不相等”时轨迹是什么样的曲线呢?距离相等就是距离之比为1.

给出两组数据:

教师：这个猜想正确吗？

引导学生回顾椭圆方程建立的过程：

PF1+PF2=2a，

(引导学生观察式子中是否有动点到点和直线的距离)

同理在双曲线中也是如此.

明确F点为焦点，直线l称为准线，常数是离心率.

由此，圆锥曲线的统一定义就顺利生成.

在此过程中，学生从不同的曲线中探寻共同的结构，揭示出三种圆锥曲线的本质特征，得到它们的统一定义，体验到数学概念的相容性.这些文化要素能够对学生的观念和思维产生陶冶和浸润，拓宽视野，激发思维.其实这也是数学研究中的重要思想.我们对许多公式和原理的学习中，一定要弄清楚它们的适用范围，同时还要探究能否在更大的结构中具有合理性.

4 在尊重规律、严谨治学、示范引领中浸润文化

数学文化对学生的教育、影响还体现在教师日常的教学过程的每一个细节中.要尊重学生的主体地位和认知规律，尊重学科的本质和内在规律，在严谨的治学、科学的思维、高屋建瓴的洞察、循循善诱的点拨和个性化的关照中浸润学生的思想和心灵.

叶澜教授说：“有文化意义的课堂，一定是充满生命激情、生命动感的课堂.课堂要凸现学生的主体地位，尊重学生的生命价值，发挥学生的主动性，赋予课堂教学以生命的意义，让课堂充满生命的活力.”柳宗元在《种树郭橐驼列传》一文中概述的郭橐驼的种树之道是“顺木之天，以致其性”，只要顺应树木自然生长的规律，充分发展它的习性，就能使树木活得久而且长得快.

人的学习从本质上来说都是自我学习.教师的主要任务是引导、启发和协作.教师要从学生的实际出发，精心确立目标，创设情境，选择问题，使学生在问题的引导下进入学习活动.南京市玄武区建构的“五度”数学课堂就很好地彰显出教学的文化力量，“坡度、角度、精度、自由度、温度”都指向学生，体现出“以学生为本”的教学理念.“坡度”是指教学的起点和进程要适合学生的学习实际和思维水平；“角度”是指教师要站在学生的立场，用学生的视角观察问题、分析问题；“精度”是指精准把握学生的起点、需要和困难，并给予精准的帮助和指导；“自由度”是指敢于放手，善于引导，让学生打开思维，放飞想象，自由表达；“温度”是指对学生耐心的启发、热情的鼓励和殷切的期待.

教学文化体现在师生在教学活动中所体现出来的思想意识、思维方式以及学习方式等.课堂上，教师应让学生经历学科活动全过程，在活动过程中学会思考、发现，形成相应的思维方式，深入理解数学概念以及相互之间的联系.在数学概念教学中，让学生经历概念形成的过程，理解概念与相关内容、生活经验的联系，在知识体系中的位置；在习题教学中，让学生学会判断、识别、比较、选择，掌握一类问题的结构和基本规律，并学会在新情境下的迁移和创造.

5 结语

美国数学史家M.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关.这种关系在我们这个时代尤为明显”.“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家都十分有用”.数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量.

学生是有血有肉的人，教学的目的就是播种、浸润、启迪、唤醒，激发和引导学生的自我成长之路.

课程改革走进“核心素养”时代，数学教学必须改变简单的知识学习、技能训练的做法，关注学生的情绪、态度、价值观和适应当下与未来发展所必需的学科素养和关键能力的培养.在此过程中，数学文化将会发挥极其重要的作用，它能使数学教学超越现实的功利，使学生打开视野，敞开心扉，在数学的世界里徜徉、吮吸，感受到数学的内容、结构、逻辑以及它的严谨、深刻和优美，获得持续生长的力量，为他们的终身发展奠基.