巧借定义妙转化，多种思维齐突破——2019年全国卷Ⅰ理第19题

江苏省宝应县曹甸高级中学 李兆江

直线与抛物线的位置关系是直线与圆锥曲线的位置关系中最特殊的一种情况，是解析几何中综合性较强、能力要求较高的内容之一，成为每年高考的考查重点和热点之一，备受命题者青睐.2019年高考全国卷Ⅰ理科第19题，就是以熟悉的问题背景，常规的破解方法来设置问题，考查学生对直线与抛物线的位置关系的理解与掌握情况，涉及相关的数学知识与能力要求.

一、真题在线

【高考真题】（2019年全国卷Ⅰ理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（Ⅰ）若｜AF｜+｜BF｜=4，求l的方程；

本题以抛物线为问题背景，通过直线与抛物线的位置关系来展开，结合已知斜率的直线l与抛物线C及x轴的交点，借助已知条件中线段和｜AF｜+｜BF｜=4，以及平面向量的线性关系分别来求解直线l的方程与线段AB的长度问题，场景熟知，切入容易，难度适中，破解方法多样.

二、真题解析

解析：（Ⅰ）方法1：（官方标答——定义转化法）

可得9x2+12（t-1）x+4t2=0.

点评：与抛物线的焦点弦有关的弦长问题，经常考虑应用抛物线的定义来转化与求解.通过利用抛物线的定义｜AF｜+｜BF｜=x1+x2+p，并结合已知条件确定x1+x2的值，为联立直线与抛物线方程的函数与方程思维的应用起到化归与转化的目的.定义法处理抛物线问题或对应的圆锥曲线问题，是破解圆锥曲线问题中最为常见的思维方式之一.

方法2：（抛物线性质法）

设A（3a2，3a），B（3b2，3b）.

点评：与直线的斜率有关的问题经常借助点的坐标的设置，并利用直线的斜率公式加以转化.而巧妙设出A（3a2，3a），B（3b2，3b），利用直线的斜率公式与抛物线的定义分别确定a+b与a2+b2的值，利用抛物线的性质确定直线AB的横截距，为进一步确定直线l的方程指明方向.此种破解方法比较特殊，要巧妙借助直线AB的横截距公式来处理.

（Ⅱ）方法1：（官方标答——坐标法1）

从而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3.

点评：巧妙借助平面向量的线性关系得到y1=-3y2，同时借助直线与抛物线方程联立，消去参数x得到关于y的一元二次方程，为进一步利用韦达定理与关系式y1=-3y2的联系进行有效链接，从而破解两点的坐标再求解线段的长度.在联立方程过程中的消参，要有针对性，要结合题目条件加以合理选取，这样可以有效简化运算，提高解题效率.

方法2：（解方程组法）

可得9x2+12（t-1）x+4t2=0.

点评：本方法是官方标答（Ⅰ）中的方法1的延续，借助直线与抛物线方程的联立，消去参数y得到关于x的一元二次方程，进而确定x1+x2与x1x2的关系式，再借助平面向量的线性关系可得y1=-3y2，利用直线的方程得到x1与x2的第三个关系式，通过求解方程组法确定对应的坐标值，再结合弦长公式求解线段的长度.

方法3：（坐标法2）

设A（3a2，3a），B（3b2，3b），由可得3a=-3·3b，即a=-3b.

点评：借助抛物线的基本性质，与问题（Ⅰ）中的方法2相对应，在其基础上得到并利用已知条件，巧妙借助平面向量的线性关系得到a=-3b，从而联立二元一次方程组来分别确定a、b的值，并结合点A、B的坐标，借助两点间的距离公式来求解线段的长度问题.

方法4：（参数方程法）

三、规律总结

直线和抛物线的位置关系的相关问题，是以抛物线为载体，涉及诸如数（式）与形、形与形、数（式）与数（式）等转化关系，经常还综合平面向量、三角函数、不等式等相关知识，考查运算能力、逻辑推理能力、综合分析能力和一些重要的数学思想方法，一直是高考的重点问题，而且常常以综合题的形式出现，一般为中档题和难题，在学习和复习的过程中要加以全面重视与重点突破.F