用联系的观点看二次函数的学习

文黄秀旺（特级教师）

（作者单位：江苏省南京市江宁区教学研究室）

第四章 二次函数

领 衔 人：黄秀旺

组稿团队：南京市初中数学黄秀旺名师工作室

联系，就是事物之间以及事物内部诸要素之间的相互影响、相互制约和相互作用的关系。初中阶段函数的学习包含一次函数、反比例函数和二次函数。如果我们能积极运用联系的观点来学习二次函数，必将取得事半功倍的效果。

一、“二次函数”的学习内容

从一次函数以及反比例函数的学习来看，学习一种新的函数大致包括以下内容：（1）函数的概念；（2）函数的图像与性质；（3）函数与相应方程的联系；（4）用函数解决实际问题。“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的。我们了解了二次函数的学习内容就相当于知道了“到哪里去”，否则我们的学习内容将是零碎的，不知道知识展开的一般思路。

二、“二次函数”的学习路径

二次函数的概念形成，也是像一次函数、反比例函数一样，通过具体的实例，经历归纳、抽象、概括等过程（如例1），同时我们也感受到二次函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。

例1填空：（1）一粒石子投入水中，激起的波纹不断地向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是________；

（2）用16m长的篱笆围成一个长方形的封闭围栏，围栏的面积y（m2）与长方形的长x（m）之间的函数关系式为_____；

（3）要给一个边长为x（m）的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其他费用为1000元，那么总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是_______。

【评析】通过观察、比较，概括出上述函数关系式的共同之处，进而引出二次函数的概念。

二次函数的图像与性质的学习，也是经历先由函数关系式猜想出其性质，然后画出函数图像，进一步完善函数的性质，并借助图像直观感受到二次函数的一系列性质，体会到数形结合的思想。

例2请你说说函数y=2x2具有哪些性质？

【评析】首先通过关系式发现，2＞0，无论x取何值，总有x2≥0，所以y≥0；由于字母x的指数为2，所以x取互为相反数的两个数时，其函数值相等，进一步分析可知函数图像具有对称性。然后通过画函数图像，借助图像获得更多函数的性质。

类似于一次函数，二次函数与一元二次方程的联系，也是从表达式和图像两个角度来理解的。从关系式看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y为0时，自变量x的取值；从二次函数的图像看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标。当然，借助二次函数的图像可以理解ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的意义。

例3函数y=ax2+bx+c的图像如图1所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是（ ）。

图1

A.有两个相等的实数根

B.有两个异号的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.没有实数根

【评析】根据抛物线的顶点的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c-4=0的根的情况即是判断函数y=ax2+bx+c的图像与过点（0，4）且与x轴平行的直线的交点情况。

例4如图2是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像，由图像可知不等式ax2+bx+c＜0的解集为（ ）。

A.x＜-1或x＞5 B.x＞5

C.-1＜x＜5 D.无法确定

图2

【评析】由图像可知对称轴是过点（2，0）且与y轴平行的直线，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点为（-1，0），结合函数图像即可求得ax2+bx+c＜0的解集。

运用二次函数解决实际问题，也与一次函数、反比例函数类似，根据实际问题中的相等关系，建立函数关系式，然后利用函数的性质解决问题。

当了解了“二次函数”的学习路径时，我们不仅知道“到哪里去”，更知道“怎么到那里”。从中领悟到研究函数的方法，有利于提升探究能力，发展数学学科素养。

以上我们更多看出二次函数与一次函数、反比例函数之间的类似之处或相同之处，但联系的观点并不仅仅是相似，也有不同之处。接下来重点交流“二次函数的图像与性质”。

三、“二次函数的图像与性质”的深思考

许多同学会脱口而出“列表、描点、连线”，我不禁想问，对二次函数来说，怎么列表（列表指表中给出一些自变量的值及其对应的函数值，下同）呢？现在想想看，因为一次函数的图像是直线，所以列表时即使随意也没有关系。而二次函数的图像不是直线，所以列表就没有那么“随意”了。那该怎么办呢，我想最好的办法是尝试，只要几位同学一起尝试，相信对画二次函数图像之前的列表这一步就会感到困惑，这样的困惑就是一种宝贵的学习财富。尝试之后我们发现，二次函数的图像是轴对称图形，所以回头反思，列表是在认识图像是轴对称图形之下的理性作为，而不可以“任性”。

那连线呢？毫无疑问，连线不是用直尺连接两个点。从一次函数到反比例函数，大家在“连线”这步是有体会的。同样，对于二次函数，连线就是用平滑的曲线顺次连接各点，它的图像是“曲线”，我们称为抛物线。

例5 画出函数y=-x2+1的图像。

【评析】画二次函数的图像的一般步骤是列表、描点、连线。其中列表是关键，通过关系式明晰了图像的顶点坐标、图像的对称性，在此认识下的“列表”才是明智之举。如本例的列表：

-3 -2 -1 0 1 2 3 ……x y……

通过二次函数的图像，我们发现二次函数有许多性质，比如，图像是轴对称图形，图像的开口方向因a的符号而不同，图像有最低点或最高点，在对称轴的左右两边函数y与自变量x的变化情况不同。这些性质与一次函数、反比例函数的性质不同，但观察图像的视角有相似之处，所以我们在探究二次函数的图像与性质时，既要借助一次函数、反比例函数来联想，也要知道它们之间的不同之处。

总之，只要我们善于用联系的观点看二次函数的学习，我们就可以对函数这一知识板块有整体的认识。我们不仅习得与二次函数相关的知识与方法，更能提升我们探究函数的能力，乃至提升我们探究数学的能力。