变频激励响应分析及模态阻尼反演理论研究

唐宇航，王雪仁，李 欣,2

（1.中国人民解放军92578部队，北京100161；2.陆军装甲兵学院，北京10072）

0 引 言

潜艇的声辐射与结构材料的阻尼性能密切相关，阻尼参数作为一项重要的动力性能指标，对结构在共振区的响应影响十分显著。目前，舰艇振声性能设计计算时，其数值常按规范资料图谱选取，规范资料的准确性依赖统计规律保证，新船型是没有进入统计样本的，对所有船型（尤其是新船型）笼统地采用相同经验阻尼进行振动响应预报及噪声性能评估是不准确的。因此，阻尼参数亦需要通过试验来测定，然而试验条件的微小差异也可能会造成测量结果的巨大偏差。虽然国内外也制定了相关行业标准，但事实上并没有在科研和生产上严格执行[1-2]。此外，实际工程结构的动响应问题一般是利用系统模态阻尼比求解，按照已有标准测试方法所得阻尼参数难以直接运用，因此在寻找优良的阻尼材料和结构型式以实现减振降噪等效果的同时，探究可靠实用的阻尼测试方法也十分紧迫。

现阶段特殊结构的模态阻尼是通过试验模态分析来识别的，传统的参数识别方法可在时域和频域内进行。然而，诸如舰艇等复杂机械结构的总振动阻尼系数测试难度较大，时域衰减法仅能得到其低阶阻尼系数，频响曲线识别时又必须同时测量响应与激励的时序信号，激励过小时远离激励处响应小、信噪比劣，加大激励会造成局部响应过大的非线性问题，若采用“多入多出”的测量方式又会使试验更加繁琐。何况，试验中想直接测出大型结构某些激励（如阶跃激励、自激励等）的时序信号往往也是不现实的[3]，这均为舰艇总振动阻尼测试和动响应预报带来了困难。

此外，随着舰艇振声计算要求的提高，仅得到全船总振动阻尼时常不能满足设计师需求，人们开始关心局部振动及其噪声辐射情况，针对性地对噪声较大区域使用阻尼材料进行控制，因此在该背景下对局部壳体板单元阻尼测试精度提出了更高要求，以指导分布式阻尼设计。然而现有试验方法亦存在识别缺陷，常用的频域测力法中包括单自由度图解法（如峰值拾取法、导纳圆法）和多自由度解析法（如各类拟和法），分别适用于模态稀疏的小阻尼结构和模态密集的大阻尼结构。陈奎孚等[4-5]和应怀樵等[6]对峰值拾取法中半功率理论误差进行了分析，结果表明受半功率点识别误差、窗阻尼误差以及不同信号处理手段差异等因素影响，阻尼估算值较实际值偏差可达几倍甚至几十倍；导纳圆法计算精度受图解精度的限制，且无法避免因邻近模态叠加所产生的误差[7]。拟合解析法常处理多自由度系统，一般为得到密集模态的信息会增加测点数目，此举措既增大计算量也易产生病态转换矩阵，从而影响参数识别精度[8]。多自由度系统时域下的参数识别需使用窗函数对信号滤波处理，经典窗在分离低频密集模态和叠加模态时精度较差，特别是位于频响函数的两端且很接近的模态[9-10]。

为对舰艇总振动模态阻尼测试提供简便可行的方法，对局部船体板单元阻尼进行更精确的识别，本文以结构的实测响应数据为基础，提出了一种通过变频激励响应反演系统模态阻尼比的计算方法，规避了某些激励时序信号的测量难题。推导出多自由度系统共振频率及其邻近频率激励下的响应与阻尼比之间的理论关系，指出试验中若忽视共振响应与最大响应间的差异，往往会造成某些计算结果的大幅偏差，给出了“响应比”、“复合比例因子”的概念，并总结了提高该阻尼反演理论计算精度的相关规律。以某船全船船体梁为例，结合规范验证了阻尼反演理论及其识别公式的可靠性，并对该理论进行二维推广，完成了4块不同型式的局部船体板单元模型的阻尼比试验测试，为潜艇总振动阻尼估算方法以及分布式阻尼设计提供了可靠的技术支撑。

1 阻尼反演计算理论

1.1 总振动响应的模态表达

在研究多自由度系统响应问题时，一般采用模态叠加法，文中以一维梁模型进行推导，得到共振频率及其邻近频率激励下系统总响应表达式。本反演计算理论推广到二维平面、三维空间系统时，应对外加激励力、质量矩阵和模态振型等参数的一维变量进行二、三维替换。一维梁在外加激励力F( x,t )作用下的总振动响应为[11]

其中：

式中，Mj、φj、fj和ζj分别为第j阶广义质量、振型、模态力和模态阻尼比，γj为激振力频率ω与第j阶固有频率ωnj的频率比。

一维梁在外加激励力作用下发生第j 阶共振时，其主模态响应远大于其它阶模态响应，故一维梁的该阶共振总响应可记为

改变激励力频率ω，使其与一维梁第j阶固有频率ωnj有一小量的差别Δω，则响应为

其中，推广频率比γji为第j 阶固有频率邻近激振频率与第i 阶固有频率之比，即γji=( ωnj±Δω )/ωni。Δi( x,t )为ωnj±Δω频率激励下第i阶模态响应分量( x,t )为第j阶主模态稳态响应分量（非共振响应）。

其中，

为简化表达，使γjj= γj=( ωnj±Δω )/ωnj。当外加激励力F( x,t )为作用于点的集中力时，即：

则（5）式为

测点位于振型“节点”的（9）式可表示为

1.2 恒定激励力激起共振响应的阻尼比反演算法

按ωnj± Δω 和ωnj频率激励（激励力幅相同）时，系统第j 阶主模态稳态响应幅值-Wj( x )和共振响应幅值Wj( x )之比，记作δj，定义为“响应比”。

由（7）式、（12）-（13）式可得：

则

定义频率比γj与响应比δj的乘积为“复合比例因子”，以描述二者叠乘的复比例效应，用χj表示。则

结合χ定义，（16）式可改写为

图1 给出了以χ 为变量的共振响应反演阻尼曲线，其中，Δω 分别取2%ωnj、5%ωnj和10%ωnj进行错频计算，则γj=0.9、0.95、0.98、1.02、1.05、1.1。此外，由于实际结构存在阻尼，则( x )/( x )<1。

由图中可知，频率小幅错开下，阻尼识别结果随χ 增大而增大，在研究区域内具有“类反比例”增函数的规律。令阻尼函数ζ( χ,γ )进行一、二阶的对χ 偏导计算，曲线斜率变化率为二阶偏导∂2ζ( χ,γ )/∂χ2>0，曲线为凹。根据三阶偏导∂3ζ( χ,γ )/∂3χ = 0 来计算曲线斜率变化率的极值点，该点为,～ζj)，在图1 中标出。在χj∈éë 0ùû范围内，曲线平缓、斜率小，试验测量时响应比δj难以避免的小量误差并不会造成过大的阻尼比计算偏差，因此根据图中曲线性质，响应比δj越小（即χ 越小）、Δω 越小时曲线斜率越小，此时更易于得到精度可靠的阻尼比结果。

图1（18）式识别阻尼比曲线Fig.1 Damping ratio curves identified by Eq.(18)

1.3 应用模态最大位移响应的阻尼比反演算法

试验测试时，时常以最大响应值所对应的激励频率为结构固有频率，即认为最大响应为某阶模态共振响应，实际上模态最大响应是大于该阶模态共振响应的。（18）式是在模态共振响应基础上推导的，以下按第j阶模态最大响应和第j阶模态在邻近频率处非共振稳态响应推导该阶模态阻尼比。第j阶最大振动响应对应的峰值频率与第j阶固有频率之比为：

一维梁在外加激励力作用下使第j 阶模态产生最大响应，按（12）式类推得总响应为

由（14）式类推得：

若γ峰j= 1，模态响应出现最大值，此时ζj= 0。此时判断唯一可行解为

与1.2节类似，构造相同的变量范围，阻尼比识别公式曲线如图2所示。

曲线趋势及规律与图1所示相似，但当c 较大时，两图在阻尼比计算结果上差别较大，有必要对ζj按（18）式和（22）式的计算相对偏差进行分析。图3给出了两者相对偏差曲线，偏差量用ε表示为

从图3可见：

（1）相对偏差ε均为负偏差，则按（18）式所得阻尼比结果均小于（22）式计算结果；

（2）当χ较小时（χj∈éë ùû0,），两者阻尼比计算相对偏差很小，而随χj增大，特别是当响应比δj趋近1时（即χj≈γj），相对偏差急剧增大，可以认为γj确定时，阻尼越大，两式计算相对偏差越大；

（3）图中γj= 1±0.02、1±0.05、1±0.1 这三组曲线依次自上而下分布，可见当Δω 较大时二者偏差大，且负向错 频激励（γj=( ωnj- Δω/ωnj)）计算结果 的 相对偏差 要 大于正向 错 频激励（γj=( ωnj+ Δω/ωnj)）。

因此，当阻尼比较小、错频幅值Δω不大时，两式的结果相差不大，反之，则需要采用（22）式才能得到更精确的阻尼比反演结果。可见，在某些情况下，若忽视模态共振响应与最大响应的差异，往往会造成计算结果的大幅偏差。

图2（22）式识别阻尼比曲线 Fig.2 Damping ratio curves identified by Eq.(22)

图3（18）式和（22）式识别阻尼比的相对偏差曲线Fig.3 Relative deviation curves of damping ratio identified by Eqs.(18)and(22)

2 全船船体梁阻尼比反演理论有限元验证

反演理论阻尼参数的计算最终要通过试验的振动响应测试来完成。船舶工程领域中，处理全船总振动常采用船体梁理论，为直接验证阻尼识别公式的准确性，本文建立了某船全船船体梁有限元模型，模拟螺旋桨的变频激励完成该船的响应获取，进而反演得到模态阻尼比。该船相关尺度参数见表1。

船体梁是一根变截面的主船体结构等值梁，船体清晰具有船体梁的弯曲变形特征时为“似梁”弯曲。而振动阶次较高时，弯曲振动的节点间距接近于或小于船宽和型深，常导致“非梁”的振动特性，因此本例对船体前3阶低阶总振动进行响应计算，将反演阻尼比值与设定值比对以验证理论。

舷外水对船体振动的影响表现在重力、阻尼和惯性三个方面。静水面附近振动的浮力变化较小可忽略重力影响；船体强迫振动位于共振区时需考虑阻尼，将其与内阻尼合并考虑，按照规范中关于水面舰艇模态阻尼系数的规定[12]，见图4（取低阻尼）；附涟水质量导致船体惯性变化对船体总振动影响较大，模型通过集中质量点模拟其全船分布。按0～20 站号将船体分为20 段，计算各剖面要素（包括剖面惯性矩、各系数参量等）完成变截面船体梁的构建。

以螺旋桨为激励源，作用于船体艉部，变频激励时控制激励力幅值相同，按1 kN 计算。根据上节讨论中，按（22）式估算阻尼时，控制Δω 足够小可获得满意的精度，数值计算中取2%的频率增减量。对船体梁水平约束计算其垂向振动，有限元振型见图5。

表1 某船主尺度参数Tab.1 Main scale parameters of a vessel

图4 水面舰艇模态阻尼系数 Fig.4 The modal damping coefficients of surface ship

图5 船体梁有限元振型图Fig.5 Vibration diagram of finite element hull girder

经模态计算，船体梁的前3阶垂向固有频率见表2，对表中3种工况进行船体梁变频振动的数值计算，验证上述阻尼比测试方法和公式的可靠性。

表2 数值计算参数Tab.2 Parameters of numerical calculation

表3 阻尼反演计算结果及识别误差Tab.3 Damping calculation results of inverse theory and identification error

对该船体梁进行上述3组工况的强迫振动响应分析，得到共振频率ωnj激励下最大响应( x )与邻近共振频率ωnj±Δω 激励下稳态响应( x)±，测点布置在每阶工况下邻近阶次的“节点”处（距船艉最近节点），按2%的变频幅度，即γj= ωnj±Δω/ωnj= 1±0.02。（22）式计算所得模态阻尼比结果及其与设定值相对误差见表3。

可见，对于该船体梁模型，测点位置的选择对于阻尼比计算结果影响较大，但遵循一些规律。对于首阶激励工况1，以第2 阶振型“节点”为测点，仿真阻尼识别误差不超过0.2%，结果十分精确；对于较高阶次的第2、3阶激励工况2、3，分别以各自相邻阶次振型的“节点”为测点，阻尼比结果具有3个显著特征：

（1）随着计算工况阶次的升高，仿真阻尼比识别误差呈一定程度的线性增大，这与之前描述的船体在振动阶次较高时易产生“非梁”的振动特性一致；

（2）工况2、3 中按相邻较低阶振型“节点”所测响应计算的阻尼比更准确，最大误差为5.36%。文献[13]推导了特殊悬臂梁按第1、2 阶共振频率激励时的响应表达式，认为较高阶（即第2 阶）共振激励下悬臂梁低阶模态位移的贡献比例会增大，在小阻尼情况下以低阶（即第1 阶）共振频率激励时响应仍主要来源于当前模态贡献。因此考虑仿真计算中，较高阶次工况应按相邻低阶振型“节点”所测响应来计算阻尼比，这能减小低阶模态成分的影响以提高计算精度；

因此，船舶在平稳水域航行试验时改变螺旋桨转速便可实现激励的小幅错开和响应采集，进一步可通过反演理论估算出船体总振动模态阻尼比。

3 局部船体板单元阻尼比反演理论试验验证

3.1 试验背景及环境

潜艇在实际建造时板壳材质、厚度等在全船范围内分布复杂，直接用船体总振动阻尼对其进行响应和振声性能预报时常偏离实际且误差较大。淡丹辉等[14]提出单元化的阻尼比法则在控制结构总体模态阻尼比方面更具优势，可在对多阶模态阻尼比精确控制的同时又能解决分布式阻尼的建模问题。为对潜艇辐射噪声进行更加准确的预报，对声辐射显著的局部区域采取必要的控制，因此在计算壳体表面振动响应前应了解其阻尼分布情况，有必要对船体典型板单元结构进行阻尼比测试，以实现复杂阻尼分布的总体估计。此外，复合材料在降低潜艇声辐射方面有诱人的应用前景，可见研究其与钢材的阻尼性能差异尤为重要。

按照现行规范，在进行整船结构有限元建模时板壳网格尺寸常按一个纵骨或一个肋位间距（500 mm 左右）小者划分，且尽量接近正方形。本试验依据规范对网格尺度的要求，布置典型板单元阻尼比试验测试模型如图6 所示。构造固定的边界条件以模拟板在实船中与周围肋骨等骨架的连接状况，用24 根螺栓将板紧固在基座与压条之间，注入玻璃胶填充缝隙以防止频段内漏声造成的误差。为避免试验激励时板带动基座产生耦合共振现象，基座使用15 mm 厚度钢块焊制并在四周设置支撑结构以增加其质量和刚度，控制其首阶自振频率在1 kHz 以上，保证与各板单元模型前8 阶自振频率有足够的错开率。

图6 试验模型空间示意图（测试内区域500 mm×500 mm）Fig.6 Experimental model spatial schematic diagram(test area 500 mm×500 mm)

表4 玻璃钢板与普通钢板材料性能参数Tab.4 Material performance parameters of glass fiber plate and common steel plate

复合材料的性能与钢材差异较大，本试验使用2D 正交各向异性复合材料，相关参数在表4 中给出。依据该参数，试验分别对500 mm×500 mm×3 mm 规格Q235 钢板及与其等厚度、等刚度、等质量的3 块E800/350 环氧树脂材质的玻璃钢板进行多阶模态阻尼比识别，并探究复合材料与钢材在阻尼性能上的规律。板单元试验模型尺度参数见表5。

表5 板单元试验模型尺度参数Tab.5 Experimental model scale parameters of plate unit

3.2 板单元模型阻尼试验及结果分析

用共振驻留法对结构进行各阶共振及其邻近频率激励，得到测点时序响应曲线，传感器的布置根据事先进行的模态分析确定，使之尽量既位于其邻近低阶阶次的振型“节点”或“节线”处，亦为该阶振型下具有明显响应的位置。考虑微幅振动下加速度响应信号比较显著，所有测点均用加速度传感器采集，采集稳态振动后一段时长的数据，并对响应进行力幅归一化处理。在单元模型上设置9个测点位置，激励试验如图7所示。

图7 共振激励试验（玻璃钢板） Fig.7 Resonance excitation experiment(glass fiber plate)

图8 模型1～4各模态阻尼比测算结果对比Fig.8 Estimated testing modal damping ratio of model Nos.1～4

单点拾振法的脉冲激励试验可以得到板单元模型的固有频率和模态振型，依据模态识别结果设计激振频率及测点布置，反演理论中位移“响应比”与加速度（用A表示）“响应比”的数值是相等的，表6给出了板单元模型2试验响应及阻尼反演结果。4块不同板单元模型按反演理论所测阻尼比数值对比见表7，模型1～4各模态阻尼比测算结果对比见图8。

对比表7中各板单元阻尼比识别结果，可见复合材料板的阻尼性能总体上大于钢板，除个别较高阶阶次外，试验中所用复合材料板的各阶模态阻尼比约为钢板的4～5倍。边界约束条件相同时，二维空间下方形薄板振型规律基本一致，从表中计算数据可见，同种材质下厚度对板格结构的模态阻尼比大小影响不大，模型2～4 的各阶模态阻尼比约为0.4%～0.5%，模型1（钢板）则约为0.1%。此外，由图8可见，与模型1等厚度、等静刚度及等质量的玻璃钢板，各阶对应测点共振响应均大幅降低，其中模型4（与钢板等质量）加速度各阶共振响应幅值仅为钢板的1/5 左右。因此，大阻尼、低密度、高比刚度的复合材料结构，在控制系统振动及噪声辐射方面具有较好的应用前景。

表6 板单元模型阻尼反演计算结果（模型2）Tab.6 Damping results of plate unit model calculated by inverse theory(Pattern number 2)

表7 玻璃钢板与普通钢板模型固有频率及估算阻尼Tab.7 Natural frequency and the estimated damping coefficient of glass fiber plate and common steel plate model

3.3 阻尼反演结果数值计算验证

为验证阻尼结果的可靠性，以11#与71#测点间频响函数为例，对4块板的脉冲激励试验所得宽频带响应数据进行分析，将其与该频段数值计算频响结果对比。以模型1～2 为例，频响曲线对比如图9所示。

图中实线部分给出了按反演理论所得阻尼比ζj数值计算出的频响曲线，将该曲线与试验数据比对可见，除因固有频率微小差异导致的谱线峰值小幅偏移外，曲线在峰值大小、分布形状上均与试验结果高度匹配，可认为该理论所得阻尼比较为可靠。

图9 试验与数值计算宽频带频响曲线对比Fig.9 Broadband frequency response comparison of experiment and numerical calculation

4 结 论

目前，系统模态阻尼比一般通过经验规范或者传统试验测试获得，现有的资料和方法在处理实际工程结构问题时具有一定的局限性。本文对阻尼研究的现状和常用识别理论的缺陷进行归纳，从经典模态分析方法入手，推导出变频激励下的响应与阻尼比的关系，提出“复合比例因子”的概念，并对该阻尼反演计算理论进行分析。并且以某船船体梁为例进行数值计算，验证了理论及公式的可靠性，为全船总振动模态阻尼测试提供了简便可行的试验方法。基于阻尼反演理论曲线分析及船体梁数值计算结果，得到3条提高阻尼反演理论计算精度的规律：

（1）除首阶工况外，其余较高阶工况的测点应尽量布置在相邻低阶振型“节点”（或“节线”）处；

（2）应对共振频率及其邻近频率激振响应计算所得的阻尼比ζ±j进行平均；

（3）应控制变频幅度Δω不能过大，在保证测试方案可行的情况下越小越好。

本文进一步对该理论进行了二维推广，完成了几块不同型式复合材料船体板单元结构的模态阻尼比试验测试，并与钢板进行比较，得到了如下结论：

（1）相同边界条件及结构振型下，薄板的材料是影响其模态阻尼比的主要因素，与厚度、刚度及质量等关系不大；

（2）文中典型船体局部板单元结构的各阶模态阻尼比（钢材）约为0.1%，复合材料板的阻尼性能要优越于钢板，玻璃钢（E800/350环氧树脂）的模态阻尼比约为钢板的4～5倍。

因此，依据振动响应反演阻尼的算法，避免了采集激励力的时域信号，操作简便、适用范围广，为船舶等大型结构的总振动阻尼测试提供了切实可行的方法，为局部结构的精确阻尼比测试、利用分布式阻尼实现减振降噪的研究提供了新思路。