关于集合的基本定理

李学东

（佛山市数学学会，广东佛山528000）

关于数列，前人曾推导出一系列的基本定理用以研究连续函数的性质，如数列极限的完备性定理、致密性定理、区间套定理等[1-3]。相应地，对于集合列的极限也存在相应的定理。

定义1 在集列｛An｝中，在保持各项先后顺序不变的情况下，取出一些项所构造的新的数列称为集列｛An｝的子列。

定义2 对于全集U内的任意两个集合P、Q，若P⊂Q，我们分别称集簇｛C│P⊆C⊆Q且C⊆U｝、｛C│P⊂C⊂Q且C⊆U｝为全集U的闭集间和开集间，分别记为[P，Q]和（P，Q），即

定义3 在有序集簇（A，⊆）中设M为集间簇，若对于集间D（D⊆A）内任一集合M，在开集间簇M内至少存在一个集间J，使M∈J，则称开集间簇M是集间D的一个覆盖。

如设（A，⊆）=｛（-∞，α）│α∈R｝，Aα=（-∞，α），则如下集间簇

覆盖了有序集簇（A，⊆）中的集间[A0，A10）。

定理1 若集列｛An｝收敛于集合A，则｛An｝的任意子列 ｛Ank｝也收敛于集合A。

定理2 设｛An｝为全集U的同调集列，则｛An｝必存在一收敛子列。

定理3 在有序集簇（A，⊆）中，若开集间所构成的集间系M覆盖了闭集间[X，Y]，则总可以从（A，⊆）中选出有限个开集间使之覆盖闭集间[X，Y]。

引理1 设集合A、B、C为全集U的子集，则有

定理4 集列｛An｝收敛的充要条件是：∀x∈U，∃K2＞0，当 m，n＞K 时，总有 x∉‖An-Am‖。

故｛An｝的任意子列｝也收敛于集合A。

设（L，H）内含有集列｛An｝的无穷多项，否则集列｛An｝中必有无穷多项等于L、H，这样就必存在一个子列收敛于L或H，命题成立。

若（L，H）内含有集列｛An｝的无穷多项，不失一般性，不妨把含于（L，H）内的无穷多项视作｛An｝自身，即 L，H∉｛An｝。这时从｛An｝中任取一项，由于为全集 U 的同调集列，所以

于是∀k∈N 且 k≠n1，总有 An1∩Ak=At，t=n1或 k。

与第一步同理，若｛An｝中以后的无穷多项中又有无穷多项等于L1或H1，这样就必存在一个子列收敛于 L1或 H1，命题成立。若（L1，H1）内含有集列｛An｝中以后的无穷多项，则存在 n2＞n1，使闭集间中，至少一个含有集列｛An｝的无穷多项，我们再把含有集列｛An｝中以后的无穷多项的闭集间记为［L2，H2］。

如此下去，我们就得到一个递减闭集间列[｛Ln，Hn]｝（n∈N），且有

由此我们得到两个单调子集列｛Lk｝、｛Hk｝，且由定理 1、定理 2 可知集列｛Lk｝、｛Hk｝都收敛。

由闭集间列 [｛Ln，Hn]｝的构造过程可知：L1∈｛An｝或 H1∈｛An｝。若 L1∈｛An｝，则有｛Hk｝⊂｛An｝；H1∈｛An｝，则有｛Lk｝⊂｛An｝。总之集列 ｛An｝至少存在一个收敛子列。

定理3的证明（用反证法）假设闭集间[X，Y]不能被M中有限个开集间所覆盖。

因为集间系M覆盖了闭集间[X，Y]，所以在M 中必存在两个开集间（A，B）和（C，D）使 X∈（A，B），Y∈（C，D）。记A1=A，B1=sup｛B│X∈（A，B）∈M｝，C1=in｛fC│Y∈（C，D）∈M｝，D1=D，则X∈（A1，B1），Y∈（C1，D1）。

若C1⊂B1，则闭集间[X，Y]被开集间（A，B）和（A'，B）'所覆盖，从而必被M中两个开集间所覆盖。假设不成立。

若 C1=B1，则 B1∈（X，Y），且 M 中必存在开集间（E1，F1）使 B∈（E1，F1），这样闭集间[X，Y]可以被开集间（A1，B1）、（E1，F1）和（C1，D1）所覆盖，从而也必被 M 中三个开集间所覆盖。假设也不成立。

若 B1⊂C1，则∃T1∈（B1，C1）将闭集间[X，Y]分割成[X，T1]和[T1，Y]，根据假设，闭集间[X，T1]和[T1，Y]至少一个不能被M中有限个开集间所覆盖，且[X，T1]和[T1，Y]都不能被M中一个开集间所覆盖。我们不妨将这个闭集间记为[X1，Y1]，自然有[X1，Y1]⊂[X，Y]，而且若 X=X1，则 Y、Y1不可能属于 M的一个开集间。

重复上述步骤再讨论并分割闭集间[X1，Y1]，得到闭集间[X1，Y1]的一个不能被M中有限个开集间所覆盖的子闭集间[X2，Y2]。照此继续下去，我们辗转得到一个闭集间列｛[Xn，Yn]｝（n∈N），并且满足以下条件：

（ⅰ）[X，Y]⊃[X1，Y1]⊃[X2，Y2]⊃…⊃[Xn，Yn]⊃…；

（ⅱ）在集列｛Xn｝和｛Yn｝中，至少有一个不是常集列；

（ⅲ）若｛Xn｝不是常集列，对于｛Xn｝中任意不等的两项都不可能属于M的同一个开集间。

若｛Xn｝不是常集列，由（ⅰ）可知 X⊆X1⊆X2⊆X3⊆…⊆Xn⊆…⊆Y，即｛Xn｝是一个单调递增集列。根据定理1，集列｛Xn｝收敛于，即

综上所述可知假设错误，故定理3成立。证毕。

引理1 的证明 ∀x∈‖A-B‖=（A-B）∪（B-A）⇒x∈A，x∉B 或 x∈B，x∉A。

下面分两种情形进行讨论：

（1）当 x∈A，x∉B 时，若 x∈C⇒x[（B∪C）-（B∩C）]⇒x∈‖C-B‖；若 x∉C⇒x[（A∪C）-（A∩C）]⇒x∈‖A-C‖，所以

（2）当 x∈B，x∉A 时，与上述（1）同理可证

综上所述，可得

定理4 的证明 （1）证明必要性：若集列｛An｝收敛，不妨设。则∀x∈U，∃K＞0，当 m，n＞K时，有

从而当m，n＞K时，x∉‖Am-A‖∪‖An-A‖。

由引理1可知：‖Am-An‖⊆‖Am-A‖∪‖An-A‖，所以∀x∈U，∃K＞0，当 m，n＞K 时，x∉‖Am-An‖。

（2）证明充分性：欲证集列｛An｝收敛，根据定理3只需证明亦即成立即可。

因为∀x∈U，∃K＞0，当 m，n＞K 时，总有 x∉‖An-Am‖，所以当 m，n＞K0时，总有

所以∀m＞K0也有 x∈Am∩An0⇒x∈Am。

即

所以

从而

故集列｛An｝收敛且。证毕。