线段和最小问题探究

邢矛

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”这是唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头的两句，诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”的数学问题。如图1所示，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，怎样走才能使总的路程最短？

利用轴对称转化。如图2，将图1的实际问题抽象成数学问题：点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与BC的和最小？

此题应该作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于C点，C点即为所求。

证明：∵由轴对称可得AC=A'C，

∴AC+BC=A'C+BC=A'B.

在l上任取一点C'（不与C重合），连接AC'，BC'，A'C'。由轴对称可得AC'=A'C'.

∴AC'+BC'=A'C'+BC'.

又∵两点之间线段最短，

∴A'B

∴AC+BC

利用平移转化。如图3，直线a和直线b平行，A，B是直线外两个定点，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，MN为定值。当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？

这是造桥选址问题抽象成的数学问题，A，B代表两地，a，b代表河的两岸，MN代表垂直于河岸的桥，实际问题是桥造在何处可以使从A到B的路径AMNB最短。由于河岸的宽度是固定的，即MN是定值，所以AM+MN+NB最小也就是AM+NB最小。问题就转化为：当N在什么位置时，AM+NB最小？我们可以将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到N，点A移动到A'，则有AA'=MN（即不管MN怎样移动，AA'为定值，A'是定点），AM+NB=A'N+NB.这样问题就转化为：当N点在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？因此，由“两点之间线段最短”，连接A'B交直线b于N点，N点即为所求。

利用“两点之间，线段最短”。如图4，正方形ABCD中，O是AB的中点，E是AD上一动点，过A作BE的垂线交CD于F点，垂足为H点，正方形边长为2。连接DH，试求DH的最小值。

因为AF⊥BE，所以不论E点运动到哪里，∠AHB都等于90°。由直角三角形性质可得，OH=[12]AB=1。由勾股定理可以算出OD=[5]。当E点移动时，H点也隨之移动。当H点不在OD上时，由“两点之间，线段最短”得，OD

总之，这类问题的呈现形式是多样变化的，但只要掌握了解题的思想方法，就可以以不变应万变，问题也就迎刃而解了。

（作者单位：武昌文华中学）

责任编辑  张敏