众里寻“心”千百度 繁华落尽识真颜—确定多面体外接球球心位置的一般途径与四个特殊模型

安徽省枞阳县宏实中学(246700) 朱贤良

当多面体的所有顶点都在同一个球面上时,我们称该球为多面体的外接球.有关外接球的立体几何问题能有效地考查学生的直观想象素养与逻辑推理素养,是近年高考试题的热点与难点内容之一.鉴于此类试题综合性较强,思维难度较大,形形色色、千姿百态的多面体常令学生望而生畏、束手无策、敬而远之.因此,非常有必要对多面体的外接球问题作一梳理与总结,从看似不规则的空间结构中去寻找规则的求解思路,形成有法可依、有规可循的方法体系.

在求解外接球问题时,其关键步骤在于确定球心的位置.与外接球有关的特征与规律就是我们确定外接球球心位置的依据,可以帮助我们透过多面体的重重繁华表象,从本质的角度来形成规则的求解思路.首先,球心到球面上各点的距离都等于半径,因此哪个点到多面体的各个顶点的距离相等,那么这个点就是球心.其次,球心与截面圆圆心的连线垂直于截面(球的截面圆性质),因此球心必在过截面圆圆心且与截面垂直的直线上.根据这两点,即可形成确定外接球球心的一般方法,又或者利用一些特殊几何体,进而让外接球球心毕露.

一、确定外接球球心位置的一般途径:从外接圆到外接球

如前所述,球心在过截面圆圆心且与截面垂直的直线上,故多面体外接球球心必在过表面多边形的外接圆圆心、且与表面垂直的直线上.如图1所示,过两表面多边形外接圆圆心且垂直于两表面的直线的交点即为多面体外接球的球心.这是确定外接球球心位置的一般途径.

图1

例1三棱锥A-BCD中,BD=4,AB=AD=BC=DC=,且平面ABD⊥平面BCD,则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A.27π B.30π C.32π D.34π

解析如图2,设△BCD,△ABD的外接圆半径分别为r1,r2,外心分别为O1,O2,则r1= r2且O1,O2分别在中线CE,AE上.在△BCD中,sin∠DBC===由正弦定理得2r1==5,即则O1C=O2A=

图2

过O1,O2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,则两垂线的交点O就是多面体外接球的球心,且四边形OO1EO2为正方形,故球心O到平面BCD的距离为d=OO1=O2E=所以,外接球的半径为R=外接球的表面积为S=4πR2=34π.

点评多面体外接球球心在过表面多面形的外心、且与表面垂直的直线上,而在选择表面多边形时要注意选择特殊形状的多边形,如正三角形、直角三角形、等腰三角形等,以比较容易地确定外心位置并求出外接圆半径大小.本题中,△BCD,△ABD为全等的等腰三角形,其所在平面又垂直,这有助于分析外心位置、确定线面的位置关系.

例2在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,二面角S-AB-C的大小是120°,则此三棱锥的外接球的表面积为

解析如图3,在△SAB中,SA=SB=AB=3,则SA2+AB2=SB2,故∠SAB为直角,△SAB的外心为斜边SB的中点O1,且外接圆半径为

图3

点评本题中,△SAB与△ABC分别为直角三角形、等边三角形,借助这两个特殊形状的三角形外心来确定外接球球心的位置,从而将问题转化为平面几何问题,体现了转化与化归思想,实现复杂问题简单化,从而使得问题迎刃而解.

二、四类特殊几何体的外接球:巧借特殊模型玩转外接球

由多边形的外心到多面体外接球球心是确定外接球球心的一般途径,但其直观想象、逻辑推理与数学运算过程显得繁杂.实际上,虽然空间多面体形态各异,但不少多面体都可以转化为几类特殊、简单的几何体来确定其外接球的球心与半径,通过透视特殊几何体的结构特征即可发现其外接球的秘密,进而通过几类特殊模型来简化求解过程.

2.1 长方体的外接球:长方体的体对角线即为外接球的直径

从小学到高中,长方体几乎伴着我们学习数学的全过程,是我们认识空间结构与空间关系的重要载体.我们知道,长方体的四条体对角线具有长度相等、相交于一点且互相平分等性质,其交点到长方体八个顶点的距离相等,故长方体体对角线的中点即为外接球球心,其体对角线就是外接球的一条直径.具体来说,如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,由勾股定理得其体对角线的长为故即外接球半径为在求解外接球问题时,抓住长方体这一特殊模型,借助长方体的结构特征进行巧妙构造,可以化难为易、化繁为简.

例3(2019年高考全国I卷理科第12题)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,PB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )

解析由题意,三棱锥PABC为正三棱锥.如图4,取AC中点D,连接PD,BD,则AC⊥PD,AC⊥BD,故AC⊥平面PBD,AC⊥PB.又∠CEF=90°,而PB//EF,故PB⊥CE.所以,PB⊥平面PAC,PB⊥PA,PB⊥PC.

图4

由此可知,正三棱锥PABC的侧面为等腰直角三角形,且PA=PB=PC=故此正三棱锥可视为棱长为的正方体的一角,如图5所示.设球O的半径为R,则R=,故球O的体积为

图5

点评本题求解的关键步骤有二:一是认清三棱锥P-ABC的结构特征(也可以由cos∠AEC=-cos∠PEC及余弦定理列式计算得到侧棱长为故侧面为等腰直角三角形),二是通过构造正方体来求取外接球问题.事实上,当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时,可将此三棱锥补形成长方体,进而借助长方体的外接球来简化求解过程.

例4(2018年河北预赛高二试题)若△A1A2A3的三边长分别为8,10,12,三条边的中点分别是B,C,D,将三个中点两两连结得到三条中位线,此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图,则此三棱锥的外接球的表面积是

图6

图7

解析根据题意绘制图形,如图6,将△A1A2A3分别沿BC,CD,DB进行折叠后,得到图7中的三棱锥A-BCD.因为三棱锥A-BCD的三对对棱长分别对应相等,联系到长方体的上下面、前后面、左右面的对角线长分别对应相等,故可将此三对棱分别视为长方体三对面的对角线.

图8

点评当三棱锥的三对对棱长对应相等时,将其补形成长方体的思路较为隐蔽,解题时要注意判断与识别.比如正四面体,可以通过这种思路将其补形成正方体进行求解.

2.2 直棱柱的外接球:上、下底面外心连线段的中点即为外接球球心

除长方体外,一般直棱柱的外接球问题也是十分常见.如图9,设直棱柱侧棱长为h,上、下底面的外心分别为O1,O2,外接圆半径为r,根据球心的特征(球心到球面上每一点的距离均为半径R)及球的截面圆性质(球心与截面圆圆心的连线垂直于截面),不难判断,线段O1O2的中点O即为外接球的球心.显然,球心O到底面的距离d等于侧棱长h的一半,故外接球的半径为

图9

例5(2018年甘肃预赛)已知△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2, ∠APD=60°,若点P,A,B,C,D都在同一个球面上,则此球的表面积为

图10

图11

解析如图10,作出四棱锥P-ABCD.过点P作平面PAD的垂线段,且长度与AB相等,可将四棱锥补形成正三棱柱,如图11所示.由题意,正三棱柱底面△PAD的边长为2,则其外接圆半径r满足即又正三棱柱的侧棱长为h=2,故外接球的半径为其表面积为

点评将空间几何体补形成特殊几何体的前提是对空间线、面位置关系的清楚理解与准确把握,特别是线线、线面及面面的垂直关系.

例6(2016年高考北京卷理科第6题改编)某三棱锥的三视图如图12所示,则该几何体的外接球的体积为

图12

解析根据三视图,不难想象知该几何体为如图13所示的三棱锥A-BCD,△ABC的三边长分别为BC=1,AB=AC=,CD⊥平面ABC,且CD=1.根据此几何特征,分别过A,B作平面ABC的垂线段,且长度均与CD相等,进而将三棱锥A-BCD补形成以△ABC为底的直三棱柱,如图14所示.由解三角形知识,易得则△ABC的外接圆半径r满足即又棱柱的侧棱长为h=CD=1,故外接球的半径为其体积等于

图13

图14

点评高考原题是求三棱锥的体积,改编为本题后,在求解时需要突破两个关键点:一是根据三视图,准确还原几何体的结构特征,这是补形的出发点;二是根据几何体的重要结构特征“CD⊥平面ABC”,灵活通过补形将其转化为直三棱柱求解其外接球问题.

2.3 含有共斜边的两个直角三角形的三棱锥:公共斜边就是外接球的直径

如前所述,外接球的球心到球面上每一点的距离均为半径R,抓住外接球球心的这一特征可以迅速确定球心的位置.如图15所示,在四面体ABCD中,△ABC与△ABD均为直角三角形,AB为公共的斜边,O为AB的中点.

根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,OC=OD=OA=OB,即点O到A,B,C,D四点的距离相等,故点O就是四面体ABCD外接球的球心,公共的斜边AB就是外接球的一条直径.

图15

例7矩形ABCD中,AB=6,AD=8,沿对角线AC将△ABC折起,得到四面体ABCD,则四面体ABCD外接球的体积为

解析如图16,折叠后形成的四面体中,△ABC与△ACD均为直角三角形,且AC为其公共斜边,故AC为外接球的直径,即半径所以,四面体ABCD外接球的体积为

图16

点评折叠问题需要认清折叠前后的哪些量与位置关系变或不变,其不变性是才是新空间几何体的重要特征.

例8如图17,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥平面ABCD,O为对角线AC与BD的交点.若PB=1,则三棱锥P-BCO的外接球的表面积为( )

A.2π B.4π C.6π D.8π

图17

解析因为PB⊥平面ABCD,则PB⊥AC.而底面ABCD为菱形,则BD⊥AC.故而有AC⊥平面PBD,则AC⊥PO.于是,三棱锥P-BCO的两个面△PBC与△POC皆为直角三角形,且PC为其公共斜边,故PC为三棱锥外接球的一条直径,外接球的半径=PB=1,外接球的表面积为S=4πR2=4π,正确选项为B.

点评实际上,三棱锥P-BCO的四个侧面皆为直角三角形,也可以将其补形成长方体或直三棱柱后再确定外接球球心的位置.

2.4 侧棱长相等的棱锥:外接球球心在棱锥的高所在的直线上

当棱锥的侧棱长相等时,棱锥顶点在底面上的射影是底面多边形的外心,而外接球球心与底面多边形外心的连线也与底面垂直,故外接球球心恰好在棱锥的高所在的直线上.如图18所示,若棱锥的侧棱长相等,且其高为h,底面外接圆半径为r,设其外接球半径为R(h≥R),根据勾股定理得R2=(h-R)2+r2,故同理,如图19,当h＜R时,R2=(R-h)2+r2,也可得到所以,不论h与R的大小关系如何,总有

图18

图19

例9(2018年山西预赛)四面体ABCD中,有一条棱长为3,其余五条棱长皆为2,则其外接球的半径为

解析如图20,设AB=AC=AD=BC=BD=2,CD=3,且E为棱CD的中点,F为点A在底面BCD上的射影,则

图20

点评当棱锥侧棱长相等时,只须求出棱锥的高h与底面外接圆半径r,代入公式即可一蹴而就求得外接球半径.

例10(2017年福建预赛)三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为的等边三角形,PB=且二面角P-BC-A的大小为45°,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为

图21

解析如图21,取BC中点为D,连接PD,AD,则二面角P-BC-A的平面角为∠PDA=45°.在△PAD中,AD=3,PD=由余弦定理得所以,三棱锥P-ABC为正三棱锥.设△ABC外接圆半径为r,则=4, r=2,棱锥的高为h==1,故外接球半径为=外接球的表面积为S=4πR2=25π.

点评解决外接球问题的第一步是识别多面体的结构特征,如本题要从条件出发判断出P-ABC为正三棱锥这一特殊几何体,再借助特殊模型进行求解.因此,特殊几何体的结构特征是解决立体几何问题的立足点,在解题时要注意把握.