知识生成要“少逼多悟”*

(安丰中学,江苏 东台 224221)

1 提出问题

笔者有幸参加了“江苏省第14届中学数学教学高级论坛”活动，听取了江苏省江阴第一中学唐永老师的一节观摩课，课题是“曲线上一点处的切线”.唐老师的教学思路与苏教版《数学(选修2-2》)一致，课堂设计精巧，且唐老师教学功底深厚，令人折服.在评课环节中，江苏省南通市教研室的曾荣老师首先肯定了这节课，同时也指出这是一节很难上的课，这么多年来一直关注这节课，但始终未能听到一节很完美的课.那么这节课到底难在哪儿？到底应该怎么上才合理？为此，笔者做了一点探讨，当然未必能达到曾老师的要求，只是提出个人对该课应该怎么上的一点看法，与读者交流，以期抛砖引玉.

2 难点分析

教材先是指出平均变化率的含义，继而提出“如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢”.该问题的提出有一定的合理性，意在由平均变化率过渡到瞬时变化率，即由割线的斜率过渡到切线的斜率.但学生很难理解“某一点处的变化趋势”这一似乎有点模糊的数学概念，他们更不知道“如何刻画”.正如曾荣老师所说，学生如果不预习，他们怎么能想到“放大曲线，以直代曲”的处理方法呢？因此，本节课的教学难点是切线斜率的生成教学，有了切线斜率的概念，求一些简单函数的切线方程不是问题.

如何突破这个教学难点呢？要“少逼多悟”.不要“逼”学生运用放大的处理手段，无论教师展示多完美的曲线的放大图片，都只是“逼”学生理解“曲线在某点附近逼近一条直线”.我们可以从学生已有的认知出发，引导他们“悟道”，悟出切线的一些要点，进而引导他们建立“曲线在某点处的切线”概念.至于“放大的处理手段，以直代曲的思想”，可作为切线概念生成之后的反馈.

3 教学设计分析

通过以上分析，笔者重新设计了这节课的教学思路，意在引导学生逐步认识“曲线上一点处的切线”的内涵，并通过简单问题的应用反馈切线的相关感知.

3.1 感知辨析

问题1今天这节课我们要研究“曲线在某点处的切线”这一问题.同学们在初中已经学习过圆的切线，知道“若圆心到直线的距离等于半径(或直线与圆只有一个交点)，则直线与圆相切”.那么，是不是直线与曲线只有一个交点，直线就与曲线相切呢？

设计意图由熟知结论提出拓展问题，意在激发学生的探究欲望.

图1

由圆的切线导入新课，体现了由特殊到一般的研究思路，符合学生的认知规律.对于问题1，学生能想到直线与其他曲线的关系，尤其是他们非常熟悉的抛物线，如f(x)=x2.基础较好的学生会很快得到结论是否定的；其他学生经教师的点拨也都能理解这个否定性结论.如图1，直线l1,l2与抛物线f(x)=x2都只有一个交点，但直线l2不是抛物线f(x)=x2的切线，而直线l1是抛物线f(x)=x2的切线.虽然暂时还没有给出切线的严格定义，但是学生都能从图1中感知到这个否定性结论的合理性.

问题2我们已经发现，若直线与曲线只有一个交点，则直线与曲线未必相切.现在另一个问题是，如果直线是曲线的切线，那么直线与曲线一定只有一个交点吗？

设计意图提出逆向问题，让学生逐步感悟切线与曲线的关系.

图2

虽然学生还不知道切线的严格定义，但他们能够凭直觉画出曲线在某点处的切线.对于问题2，学生容易不假思索地得到肯定性结论，教师应引导学生再研究直线与其他曲线的关系，给学生一定的思考时间，大多数学生最终能够想到直线与幂函数f(x)=x3的关系.如图2，直线l与f(x)=x3的图像相切于点A，但直线l与f(x)=x3的图像还有一个交点B.由此，学生得到关于问题2的否定性结论.

3.2 逐步深入

问题3在图1中，直线l1,l2与抛物线f(x)=x2分别有一个交点P,A，但这两个交点P,A似乎有所不同.同学们能不能说出这两个交点P,A的区别？

设计意图通过点的辨析，意在引导学生深入认识切线的本质.

图3

问题3已初步触及切线的本质，先让学生辨析切点与非切点的区别.虽然学生还不知道切点的含义，但他们能感受到切点与非切点有所不同，只是难以言表.多给学生一些思考讨论的时间，总会有学生能说出其中的异同，再经教师的总结，可得到下列区别：直线l1与抛物线f(x)=x2的交点P好像是两个重合的交点，只要直线l1绕交点P稍微动一动，立即在其附近产生另一个交点；而直线l2与抛物线f(x)=x2的交点A就是一个交点，直线l2绕交点A稍微动一动，虽然也会产生另一个交点，但不是在点A附近(可以借助几何画板演示这里的区别).

3.3 本质揭示

问题4在图1中，直线l1绕交点P稍微动一动，立即在其附近产生另一个交点Q(如图3).假如给定P(x0,y0)，能不能借助这样的运动来刻画直线l1的斜率？

设计意图通过直线的旋转，引导学生认识割线与切线的斜率关系.

学生当然不能直接得到直线l1的斜率，但他们会求直线PQ的斜率.由于点Q是点P附近的一点，可设Q(x0+Δx),f(x0+Δx))，从而

问题5在图3中，我们知道直线PQ的斜率体现了曲线在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率，那么切线l1的斜率体现了曲线在切点P处的什么特征？

设计意图进一步认识切线的斜率，从而让学生认识曲线在某一点处切线的内涵.

学生易推理出“切线的斜率体现了曲线在切点处的瞬时变化率”，但这个瞬时变化率比较抽象，还需要直观理解.于是，教师再追问：切线的斜率(即瞬时变化率)是曲线在切点处的一个数学量，它一定体现曲线在切点处的某种变化特征.我们需要充分观察切点处的这种变化特征、某一点处的变化特征(有点近似一种微观性质)，基于这样的分析，学生可能会想到用放大的处理手段.如此，教师再用课件展示曲线在切点处逐步放大的图像.随着图像的放大，容易发现:在切点附近曲线与切线几乎重合，可以用切线代替曲线，切线的斜率(即曲线在切点处的瞬时变化率)体现了切线的走势也即曲线的走势.继续追问:在图1中，直线l2不是曲线的切线，如果逐步放大它们在交点A处的图像，最终得到什么图形？估计学生能够想到是两条近似的相交直线，然后再用课件展示放大的图像验证学生的想法.最后，教师再帮助学生总结归纳“以直代曲”的数学思想.

3.4 应用反馈

首先讲授课本例题：已知函数f(x)=x2，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程.目的是让学生再理解导数的概念，掌握求切线的基本步骤.其次补充讲解例题：已知函数f(x)=x3，求y=f(x)在x=1处的切线方程.不仅仅是加强理解与应用，还要利用该题反馈学生对问题2～4的感知认识.

学生能想到先求割线斜率

当Δx无限趋于0时，割线斜率

k=(1+Δx)2+(1+Δx)·1+12

无限趋于3，因此f(x)=x3在x=1处的切线斜率为3.又因为f(1)=1，所以f(x)=x3在x=1处的切线方程为y-1=3(x-1)，即

y=3x-2.

由此，提出下列两个问题：

问题6在问题2中，我们感觉到曲线的切线除与曲线有一个交点是切点外，可能还有其他交点.能不能找到这样的函数呢？

设计意图让学生用实例验证问题2的结论，加深对切线的认知.

x3-3x+2=0，

x3-3x+2=(x-1)2(x+2)，

因此方程有两个重根x=1，还有一个根x=-2.即函数f(x)=x3与其在x=1处的切线还有另一个交点(-2,-8)，这说明我们对问题2的感知是正确的.

问题7在上述求交点的过程中，方程x3-3x+2=0的重根x=1刚好是切点的横坐标.同学们能不能解释重根对应切点的横坐标这一现象？

设计意图运用问题6的实例，从方程的角度，让学生进一步认识切点的含义.

问题7的目的是让学生再理解切线斜率的定义，再次感悟问题3和问题4.切点可近似地看成两个交点，如图3，对于割线PQ(点Q在点P附近)，当点Q沿着曲线逐步逼近点P，割线PQ逐步逼近切线l1，切点P可认为是P,Q重合的点.可以想象，这样一条动态的直线与曲线联立方程组求交点，随着点Q沿着曲线逐步逼近点P，其中两组解就无限接近，消去y，得到关于x的一元方程的两根就无限接近，也即重根.

4 两点反思

对上文的教学设计，笔者谈两点个人看法，供读者参考.

1)创造性地使用教材.毫无疑问，教材是最科学、最严谨的教学资料.当然，教学不应唯命是从.陶行知先生曾讲过，教材无非是个例子.因此，我们要更新一个观点，教学不仅仅是教课本知识，更要教教师的思想和认知.创造性地使用教材，是指在遵循教学理念、遵循教材科学性的基础上，结合教师自身对知识的理解，合理设计教学内容、教学环节、教学问题等.况且，不同学校的生源差异很大，都千篇一律地照搬教材，显然不合适.我们应该因材施教，拥有优质生源的学校有必要适当拓展课本知识；而生源较差的学校适当删除一些内容，也应允许.

2)知识生成教学要“少逼多悟”.知识生成教学，是学生从无到有的接受过程，必须遵循学生的认知规律，循序渐进地引导学生发现问题、分析问题、解决问题，逐步构建新知识.知识生成教学应强调学生自然而然地接受，问题的提出不能突然，应在学生已有认知的基础上提出问题，他们才不排斥，才能积极主动地思考问题；问题的解决不能“逼”，否则容易造成学生思维断层、造成学生“假懂”.对于学生解决不了的问题，可不急于解决，可以从侧面引导、可举熟悉的例子让学生感悟，要尽可能让他们自己发现处理方法.当然，功夫在备课，要充分估计学生的能力，合理设计问题，才能减少教学中“逼”的现象.