一阶常微分方程积分因子解法

胡彦霞

一阶常微分方程积分因子解法

胡彦霞

（华北电力大学数理学院,北京 102206）

利用积分因子求解常微分方程是解方程常用的有效方法，在理论和实践中有着重要地位。惯常的积分因子解法主要讨论两种特殊情况，一种是求只显含自变量的积分因子，另一种是求只显含未知变量的积分因子。本文在未限定变量的条件下，探讨并总结了常微分方程积分因子解法，文中结果拓展总结了求常微分方程积分因子的相关结论与方法。

一阶常微分方程；积分因子；微分算子；一阶拟齐次方程

0 引言

在求解一阶常微分方程时，积分因子方法是一种常用的有效方法，思路简单且计算量较小。我们知道，对于一个恰当方程，方程可以直接写为某可微函数的全微分形式，从而求出原方程的通解。对于一个非恰当方程，如果可以找到方程的一个积分因子，也可以求出方程的通解。所以寻找方程的积分因子对于求解方程时是一步很重要的过程。在数学专业的常微分方程教程[1-3]中，一般考虑去求只显含自变量或只显含未知变量的积分因子，主要是为了避免去解一个一阶偏微分方程。也有的课本里提出观察法、分项分组积分法等方法求解一阶常微分方程。这些方法用起来需要较强的技巧，很有局限性。

微分方程理论的核心问题之一是可积性研究，而积分因子是研究微分方程系统可积性的重要因素之一[4]。系统的积分因子也反映了系统的动态和定性形态的许多特性[5-6]。这样，不论是求解方程还是定性研究方程往往都需要去寻找系统的积分因子。文献[7]给出并证明了自治和非自治常微分方程系统的积分因子存在的充要条件。在文献[8]中，研究了高阶自治系统的逆积分因子，给出并证明了几类高阶自治系统逆积分因子存在的充分性条件。文献[9-11]都考虑了一阶微分方程积分因子存在性和求法。受这些工作的启发，本文对求一阶常微分方程积分因子方面做了总结并给出一阶常微分方程存在积分因子的充分条件与求积分因子的方法，同时给出了几个算例验证了方法的正确性和有效性。文中部分结果推广了文献[9]中的主要结论。这些求积分因子的方法对于进一步认识积分因子、利用积分因子去求解方程提供一定的方便和更深入的理解。

2 求积分因子的方法

考虑一阶微分方程

(,)d+(,)d=0 (1)

其中(,),(,)在平面的某一单连通区域D上具有连续的一阶偏导数。为方便，方程(1)对应的微分算子和向量场散度为：

我们知道，若方程(1)为一恰当方程，则一定存在一函数Ω(,)∈1，使得

(,)d+(,)d=dΩ(,)=0

所以方程(1)的通解为Ω(,)＝，其中是积分常数。若方程(1)不为恰当方程且存在函数μ(,)∈1，使

(,)(,)d+(,)(,)d=dΩ(,)=0

则方程(1)的通解为Ω(,)＝其中是积分常数。此时，显然有

进一步计算，有

即，=-div。

为方便，下面先重述积分因子的定义。

定义1 对于方程(1)，若存在(,)∈1，有=-div，则称(,)为方程(1)的积分因子。

证明 这里只证明1)，其它三种情况类似。

把1()代入式(2)，得

是方程(1)的积分因子。

证明 因为

类似地，容易推得以下相关的结论：

推论1 对于函数(,)=x+y如果

是方程(1)的积分因子。

是方程(1)的积分因子。

注 2 文献[9]中，给出的确定一阶常微分方程积分因子的I---VI组共12个准则都可以由命题2推得，所以命题2是文献[9]中的主要结果的推广。

根据文献[8]中的定理3，推导出下面结论。

是方程(1)的积分因子；

是方程(1)的积分因子，其中()，()均是变量的可微函数。

证明 这里仅证明第一种情况，第二种情况类似。

因为

注3当Ω(,)≡1，上述结论即为常微分方程教材里的只显含变量或只显含变量积分因子的情况。

对于特殊形式的一阶微分方程

()d+()d=0 (3)

其中函数()，()连续、可微且()≠()有下面特殊形式的积分因子。

命题 4 方程(3)有积分因子

考虑一阶拟齐次方程

(,)d+(,)d=0 (4)

特别地，当1=2=1时，方程就是齐次微分方程。由此可推出下面结论。

命题 5 方程(4)有积分因子

证明 因为

所以有

另一方面，由于

所以

(5)和(6)分别对求导后，取＝1得到

1xP+2yP=2，1xQ+2yQ=1(9)

从而把1xP=2–2yP和2yP=1–1xQ代入(7)，可得

-[*(,)]2=2yQQ+1+Q(2-2yP)-

2-(1-1xQ)-1xPP=

2PQQ+1xPQ-2yQP-1xPP=

-[*(,)]2(-div)，

3 算例

例1 考虑微分方程d+()ed=0。

由命题1，可得积分因子

由命题2，有积分因子

例 3 考虑Bernoulli方程

例4d-(+2)d=0。

解这个方程是拟齐次方程，因为

(,)=,(,)=-(+2),

(α, α2)= α2+1(,),(α, α2)=

α1+1Q(,),=1,m1=1,m2=2。

由命题5，有积分因子

[1] 王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006.

[2] 丁同仁,李承治. 常微分方程教程[M]. 2版.北京:北京大学出版社,2004.

[3] 韩茂安,周盛凡,邢业朋,等. 常微分方程[M].2版.北京:高等教育出版社,2018.

[4] Cooke R.The mathematics of Sonya Kovalevskaya[Ｍ]. New York:Springer Verlag,1984.

[5] Giacomini H, Llibre J, Viano M. Nonexistence, existence and uniqueness of limit cycles[J]. Nonlinearity, 1996, 9:501-516.

[6] Leonardo L, Osvaldo O, Gabrile V. Non-existence of limit cycles via inverse integrating factors[J]. Electronic Journal of Differential Equations,2011,124:1-6.

[7] 李方方,胡彦霞. 常微分方程组积分因子存在的充要条件[J].大学数学,2012,28(5):110-113.

[8] Hu Y X, Chen Y. The inverse integrating factor for some classes of n-th order autonomous differential systems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2015, 423:1081-1088.

[9] 周风禄. 一阶常微分方程的积分因子法求解[J].工科数学,1995,11(3):215-220.

[10] 刘许成. 复合型积分因子的存在定理及其应用[J]. 数学的实践与认识, 2004,34(2):168-171.

[11] 程惠东,孟新柱. 积分因子存在定理的一般充要条件[J].数学的实践与认识,2006,36(8):309-312.

Further discussion on the methods for obtaining integrating factors of the first order ordinary differential equations

HU Yan-xia

(School of Mathematics and Physics，North China Electric Power University，Beijing 102206, China)

Using integrating factors to solve ordinary differential equations is an effective method used to solve equations, which plays an important role in theory and practice.Usually, there are two cases of considering to obtain integrating factors of ordinary differential equations. In one case, integrating factors with the independent variable are considered. In the other case, integrating factors with the dependent variable are considered. In the paper,the method to obtain integrating factors of the first order ordinary differential equations is considered in the case of unqualified variables. The sufficient conditionsof the existence of integrating factors of the equations are shown, and the methods for obtaining the integrating factors are given. The results in this paper extend and summarize the relevant conclusions and methods of obtaining integrating factors of ordinary differential equations.

first order ordinary differential equation; integrating factor; differential operator; first order quasi-homogeneous equation

O172.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2019.06.002

1674-8085(2019)06-0006-05

2019-09-06；

2019-10-18

2018年华北电力大学课程建设教改项目

胡彦霞(1972-)，女，内蒙古人，副教授，博士，主要从事微分方程可积性定性研究及应用(E-mail:yxiahu@163.com).