数学猜想的类型及应用

卢雨晴

【摘要】猜想作为一种科学思维形式和数学研究方法，是数学发展的重要途径.本文从数学猜想的概念出发，归纳总结了数学猜想的类型，阐述了猜想在数学中的应用.

【关键词】猜想;思维能力

数学猜想是依据已知的事实材料与数学知识，通过理论思维的能动作用对未知的量及其关系所做出的一种似真推断，数学猜想是数学创新的一种思维方式，渗透数学猜想在数学教学中具有重要的意义，为此总结归纳了数学猜想的类型如下所示.

一、直观猜想

直观猜想是指通过对研究对象的外在因素的探究，进而挖掘其本质特征，从而对问题解决的方法做出猜想.

二、归纳猜想

归纳猜想是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法，是由观察所启发而由特例所揭示的.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法.

三、类比猜想

类比是指某种类型的相似性.事物之间常常具有相同的或相似的属性，当相似的对象在某个方面彼此一致的时候，可以由已知的其中一类事物的某种属性去猜测另一类事物也一样具有相同的或相似的属性.

四、演绎猜想

演绎猜想是指从一般性概念、原则或结论的思维方法中，推断出特殊的或者特定的方法，即从一般原则推论出特定結果的方法.

五、观察猜想

观察猜想是指在数学解题和数学问题论证的过程中，通过观察的手段，找到一些客观的形状与数量的线索，对问题做出的一种有依据有逻辑的猜测.也就是运用我们的眼睛，努力发现客观存在的事实中的规律，观察得深刻与否，决定着猜想的形成与问题的解决.

六、逆向猜想

逆向猜想是指在解决数学难题时，始终遵循某一固定的思路却屡遭失败后，沿着与原思路完全想反的方向重新进行思考，从而提出的新的猜想.

七、联想猜想

联想是由一件事物想到另一件事物的心理活动.它以观察为基础，将所研究的对象和问题，联系已有的知识和经验进行想象的思维活动.数学问题的解决，实质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑关系，整个解题的思维推理过程就是沟通新信息与原有知识的一个联想过程.

八、构造猜想

构造猜想是指根据研究对象所存在的规律或者事物本身的内部结构，所做出的解决问题的一种猜想方式，进而使问题的研究更加简单化.

九、对称性猜想

对称性不仅是一种解题方法，更是一种重要的解题思路.作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量，从而将这两个量紧密地联系在一起，在解决很多问题上，可以大胆地进行这种对称性猜想.

对上述定义的应用举例如下.

例1 观察下列图形，如图所示，下面四幅图里面的大三角形是完全相同的，我们把它的面积记作单位1;则第二个图形中空白部分的面积就可以记为34，第三个图形中空白部分的面积记为916，……以此类推，那么第n个图形中空白部分的面积S为多少呢？（用字母n表示）

解 由上面的图形可以算出：

当n=1时，S=1=341-1;

当n=2时，S=34=342-1;

当n=3时，S=916=343-1;

当n=4时，S=2764=344-1.

通过归纳猜想我们不难发现，下一个图形的面积是上一个的34，即连续的图形面积形成了一个等比数列，通过认真分析我们又发现，34的指数比n小1，所以根据前文我们所列举内容，对n与S之间的相互关系做出不完全的归纳，我们猜想S=34n-1.

例2 下表是由自然数组成的金字塔式的排列，先观察其规律，再猜测第25行从右往左第26个数是;第38行有个数.

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

……

解 通过观察猜想数表发现：第二行最右边数4=22，第五行最右边数25=52，从而可知，第n行最右边数为n2.其实，本题最右和最左都满足平方型.第25行最右边数为252=625，向左数第26个数是600;第38行最右边数为382，第37行最右边数为372，其差为382-372=75，所以第38行数目个数为75.

【参考文献】

[1]黄兆霞.有关数学猜想的一些讨论[J].科技风，2014（9）：176.

[2]郝利华.猜想在初中数学教学中的应用[J].学周刊，2013（16）：158.

[3]G·波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，1984.