基于考研高数的极限求解的方法分析

柴源

【摘要】在考研的高数学习中，极限求解问题一直是考研高数中的重点和难点，同时也是历年考研中的一个高频考点之一.本文以近年来考研高数中的极限求解真题为例，通过对考研高数中的极限求解问题进行分析，讲解了在考研高数的学习过程中，利用一定的方法对极限求解问题进行解答，以及为今后的考研高数中的极限求解问题给出相关的学习指导建议和参考.

【关键词】考研高数;极限求解;方法分析

考研高数一直以来都是考研中的主要学科，近年来我国对考研高數的重视度也逐步提高.考研高数成绩在考研总成绩中占了很大比重.极限求解问题作为考研高数一直以来的高频考点和难点，在高等数据中占据了重要地位.通过极限定义了函数的连续、倒数、定积分等等.在历年来的考研中，极限求解问题也是高等数学中的重点.许多高等数学的考研资料也有很大一部分讲解极限问题的求解方法.若想学好考研高数中的极限问题，就要将教材（同济七版）中的高等数学解析方法很好地了解和例题运用，那么对于学生来讲，极限问题就变得不会那么难解答了.

一、极限求解方法及适用对象

（一）定义法

定义法就是根据函数已知的极限去证明函数就是固定的常数.这种方法的适用对象是已知极限的函数.

（二）极限存在准则及两个重要极限

极限存在准则分为两种，一种称之为夹逼准则，另一种可以通过递推公式求得的极限准则.夹逼准则适用于求和极限，夹逼准则可以解决的极限通常都可以通过洛必达法则进行解析.而通过递推公式求得的重要极限是洛必达法则中的极限.对比两种不同的准则，通过递推公式求得的重要极限运用在解决例题的过程中，会有明显的速度提升.

（三）等价无穷小

运用等价无穷小原则解析极限问题是常见的解题手段，同时也是速度最快的方法.在等价无穷小原则的运用过程中，一定要掌握那些等价无穷小.

（四）洛必达法则

洛必达法则一直是常用的极限求解方法，运用也是相对比较简单.但是在对于例题解析的过程中，一般来讲不单独用洛必达法则，而是将洛必达法则与等阶无穷小原则结合起来，运用两种方法共同进行解析.

二、近几年考研真题解析

例 求极限 limx→+∞∫x1t2e1t-tdtx2ln1+1x.

分析 首先，通过例题可以看到当x→+∞的时候这是个无穷型的极限.当遇到这种题型时，首先要考虑利用洛必达法则进行解析，因为洛必达法则适用的题型较广泛，解题思路相对比较简单.其次，在利用洛必达法则对极限问题求解的过程中，考虑是否要与等价无穷小原则进行结合，或有没有等价无穷小可以替换，若有，则考虑替换，然后再利用洛必达法则进行求解.

解 原式=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1-t）dt）x2×1x

=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）dt）x

=limx→+∞[x2（e1x-1-x）].

在此我们又可以看到它是一个∞-∞型的，在洛必达法则中这种类型的问题要通分.

limx→+∞[x2（e1x-1-x）]

=limt→01t2（et-1）-1t

=limt→0et-1-tt2.

此时，经过解析可以看出这道题是∞∞的题型，此时再运用洛必达法则可以得出

limt→0et-1-tt2=limt→0et-12t=12.

三、对考研高等数学的复习建议

通过分析和讲解考研高等数学中的真题，可以得出在高等数学的极限问题学习过程中，一定要掌握洛必达法则和等价无穷小法则.只有将这两种法则结合起来，才会更好地解决高等数学中的极限问题.在数学考研复习的过程中，将极限问题的解析重点放在洛必达法则与等价无穷小法则上.在处理极限问题的过程中，会运用到教材中的许多方法和知识点，在学习和复习的过程中，应当首先将教材中的知识点了解和汇总，将教材详细地看一遍，了解教材中的例题，了解解析方法，这样更利用考研高数的学习.

（一）以教材为复习重点

在高数的复习过程中，由于市面上各类辅导书籍和参考书较多，导致学生在选择过程中无从下手.通过分析历年的高数真题和例题可以看出，不论是什么类型题，在同济七版的材料中都能找到相同的类型，而教材中的类型题往往都是基础题型，相对比较简单.在考研数学的学习过程中，大部分题型都有教材上题型的影子.所以，在考研数学的复习过程中，应当以教材为参考重点，重点研究教材中的题型.

（二）脱离参考答案

在考研数学的复习过程中，学生往往脱离不开参考答案.当遇到难题或者新题型时，往往不会思考，而是直接去对照答案，这也是学生不会思考问题的关键.在学习的过程中，遇到难题不思考，直接找参考答案，导致学生丧失了思考问题的能力，没有独立的思考问题的过程.所以，在学习的过程中应当自己花一些时间进行独立思考.

（三）多做总结

在高数的复习过程中，应将做过的错题进行适当的整理和总结.当做错一道题后，一看标准答案觉得看懂了就可以了，这往往事倍功半.在学习的过程中应善于总结，总结是不是知识点没弄清楚，在学习过程中不断积累，有助于考研数学的学习.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：第6版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吴传生.经济数学——微积分：第2版[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]李永乐.数学历年试题解析[M].北京：中国政法大学出版社，2014.