对高中数学函数奇偶性的多重分析

卢沛奇

重庆市求精中学校 重庆 400000

高中数学课程中函数的奇偶性是非常重要的章节，在数学学习中对于函数的奇偶性掌握的要求也越来越高，在高考有关求参数极值，函数单调性，导数的应用等问题中，函数的奇偶性能对问题的解法提供一个不错的思路与优化。因此，更深入地研究函数奇偶性，能让我们更好地掌握函数的特征，从而能更好地理解与应用[1]。

1 函数奇偶性的概念

1.1 函数奇偶性的定义

奇偶函数的定义：一般地，设一个函数y=f（x）的定义域是为B，如果对于任取的x∈B，都有f（-x）=f（x）则函数y=（x）是偶函数；若对于任取的x∈B，都有f（x）=-f（x），则函数y=f（x）是奇函数。

1.2 奇偶性的函数特征

对于奇函数而言，根据定义可知若定义域内存在一点（x0,y0），则很方便得到与其对应的-x0点坐标为（-x0,-y0）；同理对于偶函数而言，若定义域内存在一点（x0,y0），则其对应点为

（-x0,y0）。另一方面奇偶性在函数的图像上也有着非常鲜明的特征：偶函数在图像上关于y轴对称，而奇函数图像则关于坐标原点中心对称。

2 函数奇偶性的重要性

高中数学函数中的奇偶性性质是函数的重要性质之一，它在我们学习的代数、三角以及高等数学中都有着非常广泛的应用，近几年的中学各类考试中，经常会出现关于函数奇偶性的一些题型，一般出现在填空、选择、判断、证明、求值等题型中。在函数学习过程中利用奇偶性，一方面可以更为准确的做出函数图像，从而更好的了解函数特征，另一方面，函数的奇偶性还有助于判断函数的单调性，在求取复杂参数的参数取值或者范围等问题中都能起到一定的作用，简化计算过程等[2]。

3 函数奇偶性需要注意的问题

3.1 函数的定义域关于原点对称，是判断函数奇偶性的必要条件

因此在判断函数奇偶性的问题中，应当首先观察函数的定义域，在解决一些复杂函数的问题中，可以帮助我们节省不少的时间。然而，不少高中生经常在判断函数奇偶性的问题中，过分注重于函数表达式，急于利用f（-x）与f（x）的关系来解决问题，常常会出现错误，例如对于y=x²（x＜0）很多同学一定会不假思索的说这个函数是偶函数，但实际上，仅仅从定义域上就可以很容易判断出这是一个非奇非偶函数。

3.2 众所周知，偶函数的图像是关于y轴对称的，奇函数的图像关于原点对称的

如果是把这两句话倒过来，得出：关于原点对称的函数图像一定对应一个奇函数，关于y轴对称的函数图像一点对应一个偶函数。则这种说法是错误的，例如，我们以原点为中心的椭圆它的图像既关于原点对称，又关于y轴对称，但是就不是一个函数，更不要谈他的奇偶性了。

3.3 利用函数奇偶性与单调性的关系，对于解决函数问题有很大的帮助

奇函数在关于原点对称的整个区间上，单调性是一致的，而偶函数则是相反的。例题：若给出一个函数f（x）的定义域在R上是偶函数，在区间（-∞,0]上是减函数，且f（2）=0，求使得f（x）＜0的x的取值范围。分析：因为函数f（x）是偶函数，且f（2）=0，所以f（-2）=f（2）=0，又因为函数f（x）在区间（-∞,0]上是减函数，所以函数在[-2,0]内的函数值是小于0的。利用偶函数与函数单调性的性质，函数区间[0,+∞]上是增函数，因此函数在[0,2]内的函数值是大于0的，最后得出使得f（x）＜0的x的取值范围为-2＜x＜2。

3.4 既是奇函数也是偶函数的函数是存在的且有无数个

如果存在一个函数既是奇函数又是偶函数的，则它的函数关系式是要满足f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）的，然后我们可以得出f（x）=-f（x），解得f（x）=0。因此只要函数定义域关于原点对称，则f（x）=0既是奇函数又是偶函数，例如x∈R、x∈[-5,5]等等。

3.5 复合函数的奇偶性

我们假设y=f是g=Q（x）和y=f（g）复合函数，假定其定义域是关于坐标原点对称的区间。则得出：（1）若g=Q（x）是偶函数的，又y=（g）是偶函数的，结果y=f（g）是偶函数；（2）若g=Q（x）是奇函数的，又y=f（g）是奇函数的，结果y=f是奇函数；（3）倘使g=Q（x）是奇函数的，又y=f（g）是偶函数的,则y=f（g）是偶函数，总结起来可以得到复合函数中存在偶函数，则函数为偶函数，否则为奇函数。利用这个性质对帮助学生快速解决有关复合函数奇偶性的问题，可以起到事半功倍的效果[3]。

4 结语

从高中数学的函数知识构架来谈，我们都知道，函数的奇偶性，是函数定义的延展，也是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等很多内容的基础。对于研究函数的奇偶性的过程体现了数学的“从特殊到一般”、“数形结合”的思想方法，这对培养学生的思维能力和教学素养都具有非常重要的意义。通过对高中数学的学习，能够进一步明确函数的奇偶性在数学学习中的重要性。奇偶性的研究和掌握为今后的数学学习奠定了坚实基础。