拟行(列)对称矩阵的Schur分解及正交对角分解

袁 晖 坪

(重庆工商大学 数学与统计学院,重庆 400067；经济社会应用统计重庆市重点实验室,重庆 400067)

矩阵的Schur分解、正交对角分解与Hermite矩阵分解是矩阵的基本分解方法之一,在因子分析、数理统计、系统论、控制论、信息论、商务智能、最优化及各种工程问题中应用广泛[1-9].广义逆矩阵在测量学、经济学、数值分析、优化理论、系统论和控制论等领域应用广泛[10].当数据矩阵维数较大时,用计算机对其进行直接分解,计算量极大,效率较低.但若能找到矩阵中某一部分与其他部分之间的某种定量关系,会极大提高计算效率,因此寻找矩阵的特殊结构关系有一定的理论意义[11-16].尤其当矩阵具有某种行或列对称性时,矩阵的Schur分解、正交对角分解与Hermite矩阵分解很容易求得,从而可以节省大量存储量空间和计算量.文献[11-14]研究了行(列)对称矩阵的QR分解与奇异值分解,文献[15-16]研究了拟行(列)对称矩阵的极分解,获得了一些有意义的结果.本文进一步探讨拟行(列)对称矩阵的Schur分解、正交对角分解与Hermite矩阵分解,给出拟行(列)对称矩阵的Schur分解、正交对角分解、Hermite矩阵分解及其Moore-Penrose逆的公式,推广了文献[7-8]的结果,扩充了文献[15-16]的结果.拓宽了应用范围.本文用AH表示矩阵A的共轭转置矩阵,m×n与m×n分别表示m×n实矩阵集与复矩阵集,A+表示A的Moore-Penrose逆.

定义1[15]设A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,则称

为A的k次拟行对称矩阵,A称为其母矩阵.特别地,当Q1=Q2=…=Qk-1=Q时,简记R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定义2[15]设A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶置换矩阵,则称

C(A;Q1,…,Qk-1)=(A1,A2,…,Ak-1)(其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1)

为A的k次拟列对称矩阵,A称为其母矩阵.特别地,当Q1=Q2=…=Qk-1=Q时,简记C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;Q).

由定义1和定义2可知,拟行(列)对称矩阵是行(列)对称矩阵[12]、行(列)反对称矩阵[8]、行(列)延拓矩阵[13]与行(列)酉对称矩阵[14]的进一步推广.

1 拟对称矩阵的3种分解及其Moore-Penrose逆

引理1设Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶置换矩阵,U为n阶酉矩阵,则

为kn阶酉矩阵.

证明：因为UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I,所以容易验证

若无特殊说明,下面出现的酉矩阵P1均与引理1相同.

1.1 拟对称矩阵的Schur分解及其Moore-Penrose逆

定理1(Schur分解) 设Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,已知A∈n×n的k次拟行对称矩阵为R(A;Q1,…,Qk-1)∈kn×n,A的Schur分解为A=UHLU,其中U为酉矩阵,L为上(下)三角阵且其对角元为A的特征值.则存在酉矩阵P1, 使得：

证明：1) 由引理1知,P1为酉矩阵,故

2) 由1)及文献[5]知,

定理1推广了文献[7]的定理2及文献[8]的定理1.

定理2(Schur分解) 设Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,已知A∈Cn×n的k次拟列对称矩阵为C(A;Q1,…,Qk-1)∈n×kn,A的Schur分解为A=UHLU,其中U为酉矩阵,L为上(下)三角阵且其对角元为A的特征值.则存在酉矩阵P1,使得：

证明：1) 由引理1知,P1为酉矩阵,故

2) 由1)及文献[5]知,

定理2推广了文献[7]的定理3和文献[8]的定理2.

1.2 拟对称矩阵的正交对角分解及其Moore-Penrose逆

定理3(正交对角分解) 设Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,已知可逆矩阵A∈n×n的k次拟行对称矩阵R(A;Q1,…,Qk-1)∈kn×n,且UHAV=D1=diag(σ1,σ2,…,σn),其中σi>0(i=1,2,…,n),U,V为正交矩阵，则存在正交矩阵V和P1,使得:

2) 由1)及文献[5]知,

定理4(正交对角分解) 设Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,已知可逆矩阵A∈n×n的k次拟列对称矩阵C(A;Q1,…,Qk-1)∈n×kn,且UHAV=D1=diag(σ1,σ2,…,σn),其中σi>0(i=1,2,…,n),U,V为正交矩阵.则存在正交矩阵V和P1,使得：

2) 由1)及文献[5]知,

1.3 拟对称矩阵的Hermite矩阵分解及其Moore-Penrose逆

定理5设Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,已知n阶Hermite矩阵A的k次拟行对称矩阵为R(A;Q1,…,Qk-1)∈kn×n,且A=UHDU,其中D为实对角矩阵,对角元为A的特征值,U为酉阵.则存在酉阵P1,使得:

证明：1) 由引理1知P1为酉矩阵,故

2) 由1)及文献[5]知,

定理6设Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶置换矩阵,已知n阶Hermite矩阵A的k次拟列对称矩阵为C(A;Q1,…,Qk-1)∈n×kn,且A=UHDU,其中D为实对角矩阵,对角元为A的特征值,U为酉阵.则存在酉阵P1,使得：

证明：1) 由引理1知P1为酉矩阵,故

2) 由1)及文献[5]知,

2 拟对称矩阵Schur分解的算法

算法1拟行对称矩阵R(A;Q1,…,Qk-1)的Schur分解算法.

步骤1) 求矩阵A的Schur分解A=UHLU；

步骤2) 计算引理1中的酉矩阵P1；

算法2拟列对称矩阵C(A;Q1,…,Qk-1)的Schur分解算法.

步骤1) 求矩阵A的Schur分解A=UHLU；

类似地,可得出其他几种分解的算法,故略.

例1在彩色图像数字水印算法中,假设原始像素块为

则由定理2知,存在酉矩阵

使得

综上,本文研究了拟行(列)对称矩阵的性质,给出了它们的Schur分解、正交对角分解、Hermite矩阵分解和Moore-Penrose逆的公式及快速算法,导出了拟行(列)酉对称矩阵与母矩阵的Schur分解、正交对角分解、Hermite矩阵分解和Moore-Penrose逆之间的定量关系.结果表明,用母矩阵代替拟行(列)对称矩阵进行Schur分解、正交对角分解、Hermite矩阵分解及Moore-Penrose逆,既能极大减少计算量和储存量,又不会丧失数值精度.因此,本文不仅推广了文献[7-8]的相关结果,也丰富了文献[15-16]的研究结果,拓宽了实际应用领域的范围.