方程思想在解析几何大题中的地位

■陕西师范大学附属中学 刘曦钊

近年来的高考数学,不论各地省卷还是全国卷,都会有一道平面解析几何准压轴大题,这道题既是重点,更是难点。许多文章对这道题做了有益的研究,其常常分成弦长、面积、定点、定值等类型予以说明。仔细回顾近几年的高考试卷不难发现:任其出题方式如何变化,以方程思想为纲的核心考点从未改变,如果我们能紧紧把握这个要点,就可以摆脱形式上的繁复,以较小成本拿下该题。

例题(2017年全国卷Ⅰ理20)已知椭圆,四点P(1,1),

1中恰有三点在椭圆C上。

(1)求C的方程。

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点。

解答：(1)四点中恰有三点在椭圆C上共有4种情形:①P1,P2,P3在,P4不在;②P1,P2,P4在,P3不在;③P1,P3,P4在,P2不在;④P2,P3,P4在,P1不在。因为椭圆C关于y轴对称,P3,P4务必同在或者同不在,舍去情形①和②。又椭圆C关于x轴对称,P1,P4如果同在椭圆C上,其纵坐标应互为相反数,与实际矛盾,故舍去情形③。情形④符合,于是,解得a2=4,b2=1,故椭圆C的方程为

(2)如果直线l没有斜率,设其方程为x=m(-2＜m＜2,且m≠0)。

联立消去x可得y2+解得-2＜m＜2且m≠0。设交点A(m,y1),B(m,y2),则y1,y2是方程1=0的两个实根,于是y1+y2=0,y1y2=

点评:方程思想贯穿本题始终:

(1)在第一问中,确定了哪三个点在椭圆上后,利用待定系数法列方程求解椭圆中的重要参数,这一步考生觉得好做的原因是:首先,参数已经被题干设出来了;其次,方程的构造方式很熟悉;再次,求解简单易行。如果我们能够熟练掌握这样的解题流程,那么平面解析几何解答题就没有攻克不了的!

(2)在第二问中,直线l是个对象,需要表示它,我们知道用方程,可是用哪个形式的方程呢?这就引出了对斜率的分类讨论,分类之后,应该把直线方程表示出来,很自然就该引进参数m或者k,m了,有些考生这一步都做不到,何谈方程思想呢?没有未知数,怎么列方程,未知数现在是k,m,而不是x,y,因为k,m才是表示直线的关键!虽然它们现在都未知,但是我们通过构造它们的方程就可以追踪了,正所谓“未知数别害怕,列解方程来解围”!

(3)在第二问中,直线和曲线的交点需要通过解方程组来研究,解方程组的过程其本质就是用事先设定的参数k,m来描述解存在与否、解有多少个、解是什么这三个问题,虽然最后这个问题有时不便表示,但可以设而不解,这是代数思想的体现,也可以理解增设未知数x1,x2,但是它们和参数k,m的关系通过根与系数的关系已经说清,试问,根与系数的关系是方程组吗?正所谓“未知数别害怕,列解方程来解围”!

(4)因为增设了x1,x2,y1,y2,使得继续描述成为可能,事情继续发展:利用斜率和为-1,将x1,x2,y1,y2沟通起来,这是方程吧?通观全局,我们列完了关于k,m,xi,yi的方程组,现在唯一剩下的就是根据需求有方向性地消元求解,正所谓“磨刀霍霍向猪羊”。

(5)因为要证明直线过定点,那么直线的直接决定因素k,m的信息就需要更新和细化,于是我们消去所有的xi,yi,保留k,m,终于得到了k,m的等量约束,正所谓“未知数别害怕,列解方程来解围”!再经过它们的不等量约束验证后出场,直线的信息得到更新定点问题证明完成。

总结：是什么让一个解题者可以坚持做完这样一道平面解析几何解答题,笔者认为是方程思想的光芒,它让人相信,那么终将看见!无论它的形式如何变化,但是在解题的过程中不断应用文章中的“未知数别害怕,列解方程来解围”这句话,一定能在最短的时间里找到问题的突破口,避免走一些弯路,而这也是这几年全国卷出题人在解析几何这道大题中给我们渗透的信息。