二次函数图像的平移与对称变换问题例析

■杨兴发

函数图像是由点构成的,函数图像位置的变化,实质就是图像上点的位置的变化,而坐标决定点的位置,因此,可以通过研究点的变换与其坐标之间的变化来研究函数图像的变换与其解析式的变化之间的关系。下面我们通过点的平移、关于坐标轴或原点的对称变换与坐标变化之间的关系来研究二次函数图像的平移、关于坐标轴或原点的对称变换与解析式的变化之间的关系。

点P(x,y)的平移、关于坐标轴或原点的对称变换与坐标变化之间的关系如下:

1.点P(x,y)关于x轴的对称的点坐标为(x,-y),关于y轴的对称的点坐标为(-x,y),关于原点的对称的点坐标为(-x,-y)。

2.点P(x,y)向右(左)平移m(m＞0)个单位长度得到的点的坐标是P(x±m,y);向上(下)平移n(n＞0)个单位长度得到的点的坐标是P(x,y±n);既向右(左)平移m(m＞0)个单位长度,又向上(下)平移n(n＞0)个单位长度得到的点的坐标是P(x±m,y±n)。

例1(1)抛物线y=2(x+2)2-4向右平移3个单位长度,向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式是_____。

(2)抛物线y=x2-4x向左平移4个单位长度,向上平移5个单位长度得到的抛物线的函数表达式是_____。

(3)抛物线y=x2-4x关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____,关于y轴对称的抛物线的函数表达式是_____,关于原点对称的抛物线的函数表达式是_____。

分析：抛物线y=ax2+bx+c中,a的绝对值决定抛物线的形状,a的正负决定抛物线的开口方向,当a＞0时抛物线开口向上,当a＜0时抛物线开口向下。变换前后抛物线的形状是保持不变的;关于x轴或者原点对称的抛物线开口方向相反,a就变为-a;平移或者关于y轴对称变换前后抛物线开口方向相同,a也就不变。因此,要想求出求变换后抛物线的解析式,就得先确定出变换前抛物线的顶点坐标,再根据上面两条关于点的平移、对称变换与坐标变化之间的关系确定出变换后抛物线的顶点坐标;然后就可以直接写出变换后抛物线的顶点式解析式。

(1)中抛物线的解析式是顶点式,可直接写出顶点坐标是(-2,-4),变换后的顶点坐标是(1,-3),所得抛物线的解析式是y=2(x-1)2-3。

(2)(3)中的抛物线是一般式,可先化成顶点式或用顶点坐标公式求出顶点坐标是(2,-4),(2)中变换后的顶点坐标是(-2,1),得到的解析式是y=(x+2)2+1。(3)中的抛物线变换后的顶点坐标分别为(2,4),(-2,-4),(-2,4),解析式分别为y=-(x-2)2+4,y=(x+2)2-4,y=-(x+2)2+4,也可以将结果化为一般式。

例2(1)抛物线y=2(x+2)2-4能经过平移得到抛物线y=2(x+3)2+1吗?如果能,应怎样平移?

(2)抛物线y=x2+4x与抛物线y=-x2+4x有怎样的关系?

分析：(1)中两个抛物线的顶点坐标分别为(-2,-4),(-3,1),前者向左平移1个单位长度,向上平移5个单位长度就可以得到后者。

(2)中两个抛物线的顶点坐标分别为(-2,-4),(2,4),这两个点关于原点对称,两个抛物线的解析式中的二次项系数只有符号不同,所以这两个抛物线关于原点对称。

由例1、例2可以看出,有关二次函数图像平移、对称变换问题看似很复杂,但只要转化成二次函数顶点坐标的变换问题,就很容易解决。