线接触弹流状态下摩擦副的刚度阻尼研究

夏伯乾，徐梦霞

(郑州大学 机械工程学院，河南 郑州 450001)

0 引言

随着机械设备越来越向重载、高速的方向发展，对其动力学性能的要求也越来越高.润滑不但可以有效减小摩擦，降低磨损，提高设备工作效率，而且对设备的振动、噪声等动力学性能的改善具有重要的作用.所以，近年来，研究机械动力学时考虑润滑的作用开始引起研究者的注意和重视.

早期对摩擦副的动力学特性进行研究时，多忽略润滑油膜.Datta等[1]在研究滚动轴承的动特性时，假设摩擦副为Hertz接触，求得了等效刚度，但忽略了润滑油的阻尼作用.Harsha等[2]在预测转子系统的动特性时，使用Hertz理论获得滚动件与座圈间的刚度，也没考虑润滑油的影响.随着研究的深入，Hagiu[3]将系统动特性与润滑理论耦合，建立了比较符合实际工况的动力学模型，后来在文献[4-10]中都用到了这种耦合方法，但是，其中Wijnant[6]、Venner[7]和张鑫磊[8]的研究中选取了常数作为无量纲自然频率.张玉言[9]和柳剑[10]则认为这种方法存在问题，他们根据实际工作载荷、速度计算出无量纲自然频率，并对其进行了研究.对比这些学者的研究还发现：Wijnant和柳剑[6]认为弹流状态下摩擦副的阻尼随载荷增加呈现出下降的趋势；张鑫磊[8]的计算结果则正好与之相反；而张玉言则认为在不同的参数范围内刚度阻尼的变化趋势都不同.笔者认为这些结论的不同与无量纲自然频率的选取有关，故笔者针对无量纲自然频率对摩擦副刚度、阻尼的影响规律进行研究.

1 线接触摩擦副动力学-弹流润滑耦合系统方程

1.1 弹流基本方程

(1)Reynolds方程：

(1)

式中：u为卷吸速度；p为油膜压力；h为膜厚；η为油黏度；ρ为油密度；t为时间.

(2)油膜厚度方程：

(2)

式中：h00为刚体中心位移；E′为等效弹性模量；R为等效曲率半径.

(3)黏压方程：

η=η0exp{(lnη0+9.67)×

[(1+5.1×10-9p)z-1]}，

(3)

式中：η0为润滑油的环境黏度；z为Roelands方程黏压系数.

(4)密压方程：

(4)

式中：ρ0为润滑油环境密度.

(5)载荷平衡方程：

(5)

式中：w为线载荷.

1.2 动力学方程

将弹流油膜简化为弹簧阻尼，则摩擦副的动力学模型如图1所示.其动力学方程为：

(6)

式中：q(t)为外载荷；ffilm为油膜力；m为摩擦副等效质量；δ为弹性趋近量.

图1 弹流状态下线接触摩擦副动力学模型

1.3 耦合方程

对比动力学方程和弹流基本方程，得耦合方程：

(7)

δ(t)=-h00(t)+c00,

(8)

式中：l为磨擦副有效接触长度；c00为待定常数.

1.4 方程的无量纲化

弹流基本方程(1)～(5)的无量纲化参见文献[11].动力学方程(6)的无量纲化参见文献[10].

2 摩擦副的刚度、阻尼计算模型

2.1 油膜力的线性化

在图1中，设外载荷为静载荷q0时，摩擦副的弹性趋近量为δ0，此时油膜力与外载荷平衡，即ffilm(δ0)=q0.当系统受到外加干扰时，弹性趋近量δ将发生变化，此时将油膜力ffilm(δ)按泰勒级数展开，并略去式中的二阶及高阶小量，可得

(9)

式中：k和c分别为摩擦副有量纲刚度和有量纲阻尼.

在自由振动条件下，摩擦副的动力学方程为：

(10)

将式(9)代入式(10),得

(11)

将式(11)按照文献[10]进行无量纲化，并令Δ*=Δ-Δ0，得

(12)

式中：Ωc为无量纲自然频率；R为等效曲率半径；Δ为无量纲弹性趋近量；b为Hertz接触区半宽；T为无量纲时间；K为无量纲刚度；C为无量纲阻尼.

2.2 摩擦副刚度阻尼计算模型

图2 单自由度系统自由振动曲线

根据振动响应曲线，可以得到摩擦副的刚度和阻尼.具体计算过程参见文献[8].

3 数值求解

对Reynolds方程进行离散，在空间坐标轴上选择三点中心差分离散格式，时间坐标轴上采用隐式欧拉差分离散格式.对动力学方程采用Newmark法[6]进行离散.数值求解的流程如图3所示.

图3 摩擦副动力学特性求解流程

按照图3的求解流程，给出了自由振动下摩擦副的振动响应过程，如图4所示.图5为张鑫磊[8]在其研究过程中给出的油膜自由振动曲线.对比两图可知：本文方法计算得到的点数较密，根据这些数据得到的振动曲线计算摩擦副的刚度、阻尼，可以在很大程度上提高计算结果的准确性.

图4 自由振动条件下摩擦副的动特性响应曲线

图5 位移扰动下弹流油膜的自由振动曲线

4 自然频率对摩擦副刚度、阻尼的影响

由无量纲自然频率Ωc的定义可知，当载荷、速度不变时，改变摩擦副等效质量m就等于是改变Ωc的大小.所以，研究m对摩擦副刚度阻尼的影响就等效于研究Ωc对摩擦副刚度阻尼的影响.

取载荷q=1 000 N，速度u=0.1 m/s，时间步长Δt=1.0×10-4s，位移扰动量h0=1.2h00，质量分别取m、2m、4m、6m、8m、10m，其中m=0.009 2 kg，根据图6中计算得到的摩擦副的振动响应曲线，得到各算例下摩擦副的刚度、阻尼，如表1所示.

图6 等效质量对摩擦副振动响应的影响

由图6可见，随着等效质量m的增大，摩擦副的振动幅值和周期也随之增大.但从表1可见，摩擦副等效质量的变化并不影响摩擦副的刚度阻尼.故在研究摩擦副的刚度阻尼特性时，将等效质量或者无量纲自然频率取为定值，不影响所得结论的普适性.需注意的是，根据计算经验，等效质量或者无量纲自然频率的取值，影响时间步长的选取，二者需要匹配，才能保证计算的收敛性和高收敛精度.

表1 等效质量对摩擦副刚度阻尼的影响

5 激励方式和激振频率对摩擦副刚度和阻尼的影响

5.1 简谐激励下摩擦副动力学-弹流润滑耦合方程

对图1所示的摩擦副动力学模型，设平衡状态时，摩擦副所受外载荷为定值q0，施加简谐力Δq=q0cwsinωet，则等效质量m所受总的外载荷q(t)=q0+q0cwsinωet.等效质量m在简谐激励作用下做周期性振动，其振动方程为：

(13)

式中：cw<1，为动载系数；ωe为激励频率.

因为惯性力是保守力，所以当m受到稳定的强迫振动时，在一个振动周期内，惯性力所做的功为零.记一个振动周期内外载荷q(t)所做的功为ΔE，则

(14)

所以，ffilm=q0(1+cwsinωet)，其无量纲形式如下：

Ffilm=1+cwsinΩeT,

(15)

5.2 简谐激励下摩擦副系统的刚度和阻尼

对于油膜力Ffilm可表示如下：

(16)

式中：Δ*为摩擦副无量纲刚体位移.

当m作强迫振动时，

(17)

将式(17)代入式(16)中，得

(18)

Ffilm(t)随着Δ*的变化形成了一条闭合的曲线，即阻尼环，如图7所示.阻尼环的面积代表系统振动一个周期所消耗的能量E，即

(19)

图7 阻尼环

5.3 算例及分析

5.3.1 激励方式的影响

5.3.2 激振频率的影响

表3为不同简谐激振频率作用下求得的摩擦副的刚度和阻尼值.具体计算参数为静载荷q0=1 200 N，速度u=0.1 m/s，简谐激励Δq=200sin(2πf·t).

表2 激励方式对摩擦副刚度和阻尼的影响

表3 激振频率对摩擦副刚度和阻尼的影响

5.3.3 对比分析

由表2和表3可知，摩擦副的刚度和阻尼与激励形式无关，与激振频率无关.此结论与张鑫磊[8]的研究结论相同，但是张鑫磊[8]在对各自的研究中只选取一组参数进行对比，而本节选取了多组参数，所得结论更具有说服性；另外，由于选取了可以使程序很好收敛的无量纲自然频率进行研究，提高了计算结果的精度，同时也提高了所得结论的准确性.

6 结论

(1)在弹流润滑状态下，磨擦副的刚度和阻尼与磨擦副等效质量无关，与激励方式、激励频率无关;

(2)磨擦副等效质量取值虽不影响摩擦副的刚度、阻尼，但和时间步长要相匹配，否则影响收敛精度；

(3)在研究激励方式和激振频率对摩擦副刚度和阻尼的影响时，选取了可以使程序很好地收敛的无量纲自然频率值，很大程度上提高了计算结果的精度和所得结论的准确性.