“有价值的数学”效用及培养策略

【摘 要】正确的价值观会产生始终如一的下意识、如痴如醉的情感和连续的知识脉络通衢，是教育得以发生的出发点和立足点，让学生认识“有价值的数学”对提高其学习积极性、消除恐惧和厌恶效果明显，教学中教师要有的放矢传递数学之于培养人理性思维、蕴育普适方法论等方面的价值，发挥数学学科对人的优质品格和关键能力塑造的积极作用，渗透数学对于其它学科的支撑以及以数学知识和数学思想为载体传递人文关怀方面的价值.利用好“有价值数学”的导向功能，借助“有价值的数学”的渠道进行知识传授.

【关键词】 数学;价值;效用;培养

1 问题提出

价值属于关系范畴，从认识论上来说，是指客体能够满足主体需要的效益关系，是表示客体的属性和功能与主体需要间的一种效用、效益或效应关系的哲学范畴.价值作为哲学范畴具有最高的普遍性和概括性（摘自百度百科）.数学是一门研究空间形式和数量关系的学科，其生长和发展是在人类认识自然、改造自然的过程中以“价值”的形式体现的.《义务教育数学课程标准（标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）明确指出：数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用.特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展[1].归纳下来，即数学是一门来源于生活、服务生活的工具性和语言性学科，其突出价值主要有两点：第一，作为一种工具，直接被用来解决生活中的实际问题，提高人类改造自然的能力，使人们的目的和心理愿望得以实现;第二，作为一门语言性科学，培养人的逻辑性思维，发展人的智力和审美情趣，为人们提供成熟的策略支撑，兼具塑造人的各种必备品格，激发人们对美好生活和理想状态的追求.基于此《标准（2011年版）》制定了人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展的基本课程理念.充分认识数学的价值是义务教育初中数学教育的一部分，是学习数学的首要内驱动力.在数学教学中发现，学生对待数学的态度、学习数学的积极性与学生对数学价值认识程度成正相关，学生能够认识到数学的重要价值，则往往表现出强烈的数学学习欲望，并将欲望付诸于实践和行动，反之，则不然.而由于学生在校期间没有实际生产经验，对数学的各种价值认识肤浅，单纯的知识传授致使学生对于数学在培养人走上社会所需的关键能力和必备品格更是没有先体验后付费的认识过程，最终形成学生对数学的价值认识片面、扭曲，数学学习质量呈现逐年下降的趋势，一线数学教师抱怨数学绝对知识量减少了，但是数学却越来越难教了.因此教师在教学中有必要让学生认识“有价值的数学”.

2 有价值数学的效用

《孙子兵法》上说“上下同欲者胜”，意思是说士兵和将军有同样的追求，那么出战必胜.同样教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者必须和学生具有相同的目标，而学生和教师有相同的目标必要前提是价值认同，也即从教师和学生的角度看，两者对有价值的数学的认识是一致的.《标准（2011年版）》在课程总目标四方面之一的“情感态度”中有“体会数学的特点，了解数学的价值”的要求;针对近年来让数学滚出高考的粗鲁呼声和目前在中学生中存在的讨厌数学、痛恨数学的现象，有价值的数学观能够让学生全面认识数学的本质，培养学生正确的数学学习观，切实扭转学生对数学的消极态度从而提高数学学习效率.

2.1 價值形成始终如一的下意识

人的行为总是受到意识的支配，而意识又受到个人原有认知、外在的道德规范标准约束和个人兴趣的影响，正确认识和接受有价值的数学，能够使学生产生主动学习的下意识和始终保持敞开的心理内在思路，从而表现出趋于接受数学知识的意识倾向和接受学习规范并积极执行数学概念、规则和定理的学习行为，致使学生对数学孜孜不倦和废寝忘食的追求，对一切相关的数学现象喜闻乐见，情有独钟，行动迅速积极，在课堂上能够与教师进行有效沟通，能够与异质个体进行合作互助，在活动中主动承担探究任务等等.正所谓知之者不如乐之者，乐之者不如好之者.而解决问题的成功和失败，夹杂着种种体验和感受，这些体验和感受有时会坚定学习信念，有时会摧毁学习兴趣，有时会导致心灵创伤，这种经历哪怕仅仅是一次，就可以使人形成十分稳固的态度，而且这种态度还会泛化到相关或相似对象上[2].

2.2 价值是美好情感的源泉

情感是人对客观事物是否满足自己的需要而产生的态度体验[3]，学习活动其实是情智交融的过程，既有认知性特征，又有情感性特征[4]，情感是行为的温室，是催动学习行为的发动机.人们在情感影响下的实践活动推动力来自情感，情感是人类的灵魂，行动的动力，情感以一种潜在的方式影响着教学[5].学习行为的作出需要能量消耗，能量消耗需要神经激素的调节，而神经的调节又需要有价值的数学强烈地刺激人的神经组织进而发生一系列生物化学反应.正确认识有价值的数学能够陶冶学生的情怀，使学生产生乐观的态度和对数学美的无限追求，常言道兴趣是最好的老师，当然这里粗略地认为数学教师在与学生互动中所散发的个人情感也归于数学情感之内.从微观处看，学生利用数学知识解决一个生活中的实际问题认识到数学的重要价值，能够催动情感亢奋，使他的内心产生愉悦自我的心理暗示，这更加驱动学生进一步的学习数学、使用数学，对数学的价值深信不疑，从而形成一个良好的循环.

2.3 价值是数学系统的脉络

数学具有逻辑性，逻辑的下位属性是连续性，价值也具有连续性，处于思考中的人会对价值的递进关系作出反应，而在做出反应的过程中同时伴随着逻辑的发展，为数学知识的发生和发展奠定了一定的思维环境基础，可以说价值和逻辑是相互依赖生存的，其发展也是同步的.只有学生认识到数学的价值，才能更加深刻的体会数学知识的连通性.《标准（2011年版）》就指出要整体考虑知识之间的关联，一些知识之间存在逻辑顺序，一些知识之间存在着实质性的联系.价值的引导和刺激，致使学生行为按照数学的内部关系中已经存在的机制有机地组合起来，以形成有序化结构，从而呈现出整体的和结构的数学.而学生将来学习的零散的知识也会按照价值的不同进行有效的排列和基于问题解决的组合，呈现用连续数学知识解决问题的状态，例如求圆中线段长度的一个思路是垂径定理加勾股定理.

3 有价值数学的培养策略

3.1 让学生体会数学在培养人理性思维方面的价值，学会用数学的眼光思考现实世界

学习数学能够使人趋于理性，所谓理性是一种理由充分、方向明确的思考模式，能对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的思考状态，使人快速全面得出多种可行性方案，再判断出最佳方案并对其有较强执行力，也即平时所说的做事有分寸、遇事分轻重缓急，做事之前先规划再付诸实践，数学知识正是理性思维的重要载体.纵观初中阶段，学生会陆续学习数学计算、数学证明、发展合情推理与演绎推理等，这些能够去除心浮气躁，使人冷静地按照习惯的方式处理问题;而分类讨论思想、类比思想、程序思想，则能够使人考虑事情更加全面，将解决同类型问题沉着冷静的气质迁移和转嫁到其它事物的处理上，且有条不紊、不重不漏.如在使用有理数加法法则进行计算时，法则分为四部分，不但培养了学生分析能力、信息表征能力，还培养了学生依法办事的思考力，按部就班的执行力和行动力;而在利用消元思想解二元一次方程组时具体的“消元”步骤要从观察开始，通过观察判断适合利用代入消元法还是加减消元法，而如果选择加减消元法确定首先消去哪一个未知数时，要看未知数前的系数，要把握这样两个原则：第一，能用加法消元不用减法消元（减法会产生去括号时括号前面是减号的形式）;第二，两个方程两边所乘的数字尽量小.这两个原则体现了“图难于其易，为大于其细”的中华传统智慧.为了让学生更深刻体会到数学的理性价值，笔者经常给学生介绍华罗庚先生《统筹方法》一文中的例子：客人到访先烧水再去洗茶杯拿茶叶还是先洗茶杯拿茶叶再去烧开水，让学生认识到理性选择的重要性.而且如果将此与证明三角形全等类比，那么学生会更加深信不疑，例如在某证明题中欲证三角形全等，已知一边和一角相等，那么就要首先去找另外一组角相等，若行不通再去找边相等，因为找角相等可以利用的判定有AAS和ASA，而找边相等只有判定SAS可用，普遍来看，找角成功证明的概率要比找边成功的概率大50%，时间和脑力消费较低，这种思维的模式与先烧水再去洗茶杯找茶叶是一致的，也与将来处理复杂事物的思维模式是一致的.这正如M·克莱因指出：“在最广泛的意义上，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神使人的思维得以运用到最完美的程度.”因而数学对人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义[6].

3.2 体会数学在培育人方法论方面的价值，学会将相同的方法迁移到类似问题解决上

所谓的方法论是学生处理现在和将来一切问题的规范、原则、理论、方法、手段、模型等基础的总和，包括由点到线再到面的处理方式、总是从最熟悉的地方开始、选取合适的角度入手、分析手中工具的特点和待解决问题的特征并进行成功匹配和近似匹配等等.方法是知识、思维同实践的桥梁，有了方法知识、思维才有可能付诸实践[7]，张奠宙先生在提到发展学生核心素养时说要引导学生思考数学工具与问题的关系.方法论的价值通过几何证明题逐渐渗透给学生，如证明线段相等最常用的方法是证明三角形全等，若已知条件中有角相等，则首先观察等角的位置，如果是同位角或内错角，就可以证明两直线平行，再找新的角相等;若等角在位置上并非同位角或者内错角则要看能否直接用来证明三角形全等;若两条线段具有公共顶点，那么就从证明等腰三角形和线段垂直平分线的角度寻求突破.这个处理问题的思路与生活中处理问题的思路是一致的，工人在从事社会生产活动中会使用很多工具，如钳子、锤子、螺丝刀，每种工具都有其使用的特定场合和价值，在解决问题前首先要了解每种工具的使用环境，并熟练掌握每种工具的使用技巧，然后再去分析待解决问题与哪种工具的特性相匹配，第三步要拟定计划，最后实施计划，其实使用不同工具的习惯与选择不同证明方式的习惯是一样的，这一点跟波利亚解题顺序表极其相似.而处理生活中的事情也总是从相对简单的地方入手，从熟悉的地方入手，就如要学习修飞机可以首先学习修理钟表，因为修理钟表的过程会更加简单，轻车熟路之后再去修理飞机会觉得修理飞机相对轻松，这是因为修理飞机的很多技巧可能与修理钟表是一致的.数学上在利用配方法解复杂的一元二次方时，从形式上而言总是先把方程化简成a（x+b）2=c，而这个形式又是丛生于平方根的定义，所以除了模型思想之外，还体现了由繁到简的道理，体现了解决生活问题与纯数学问题异曲同工.再如在实践中发现初中数学所要解决的问题不外乎四个方面“元”“次”“角”“边”，而“角”“边”二者其中之一为条件另外一个为结论时，二者之间的联系是通过全等、相似、锐角三角函数建立的，体现全等、相似、锐角三角函数的工具性.

3.3 依托数学学科特点塑造拥有新时代所需关键能力和必备品格同时兼具个性特征的人

通过合适的知识载体能不断地、自觉地提高人的素质，培养人的优良品质，数学正是这样一种载体[8].2016年《中國学生发展核心素养》报告指出：以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心.随着社会的不断进步，中国传统的“因材施教”依然是教学所要遵循的原则与方式，但同时为适应不断发展的社会的现状，“因材施教”在继承原有内涵的同时应该被赋予新的符合新时代需求的释义，如为更好适应社会发展的需要培养学生公共的、必备的核心素养与品质，也即作为基本社会人的共性特征，同时那些在某些方面具有特殊潜质的学生其意识应该被唤醒、潜能应该被激发，也即个性特征.数学作为九年义务教育重要的一部分，其在这方面的价值和作用责无旁贷.数学是一门科学，更是一种思想，最终表现为学生在学习、理解、运用数学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现.具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点，学习数学能够使人形成严谨的办事态度和一丝不苟的处事风格，从而提升人的细腻感，同时对数学问题的攻克还能够锻炼人的意志品质，培养人强大的心理素质，使人能够有信心、有勇气面对生活中的挫折和困难，这都是数学在培养人共性方面的价值.笔者经常用高斯发现正十七边形作图的故事激励学生学习数学，也经常给他们讲近现代数学家笛卡尔、加略瓦、牛顿、莱布尼茨、冯诺伊曼、华罗庚、陈省身的故事.用这些数学家的故事塑造一个求真、求实、求美的世界，以达到让学生追求真善美的状态.如同哈代所说：数学可以像诗歌或音乐一样，增进和保持心灵的高尚的习性.而在数学课上让学生说说他对数学知识的理解，让他展示一下自己的想法，展示题目专属于个人的解法则能够有效地培养学生的个性特质，尤其是教师进行证明题一题多解、多解归一的训练时，能够培养学生独特的创新意识和创新能力，也即数学在塑造个性方面的价值.学生潜在个性的挖掘和发展是依附于经历数学对现实世界的改造和优化的，同时也需要数学标杆限定和润泽才能实现君子“和而不同”的最终教育目的.

3.4 注重數学与其它学科的联系的渗透，明确学好数学是实现人生价值的基础

马克思认为，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步.数学家希尔伯特认为：凡服从于科学知识，只要准备发展成一门理论，就必然要受到公理方法的支配，受数学的支配.伽利略说过：“大自然，这部伟大的书，是用数学语言写成的.”自然界中的一切事物，都有“数”与“形”两个侧面.因此，数学所描述的数量关系与空间形式，就自然成为物理学、力学、天文学、化学、生物学的重要基础，数学为这些科学提供了描述规律的语言和探索未知世界的一种工具[9].而牛顿、伽利略、爱因斯坦等是物理学家同时又是数学家的传奇经历有力的的说明数学是一门工具性学科，也体现出数学为其它学科提供工具性支撑.《标准》指出：数学的许多内容与其它学科知识间有密切的联系，随着学生学习的深入，其他学科的知识也就成为学生的“现实”，教材在选择数学学习素材时应当予以关注.邓恩（M.Dunne）认为：“在发展对数学教育的社会与文化议题的解释时，在看待数学课堂的时候，按照我的观点，就必须辅之以外部相关的社会与文化环境的视角.”[10]在初中阶段学科课程的设置会有一个初步的分门别类，陆续有生物、地理、物理、化学等学科，这些学科知识都与数学知识有着千丝万缕的联系，合理利用，会增加学生对数学的认同.例如地理学科中比例尺的换算可以命制数学题;用经纬度来表示地理位置，可以将此作为学生学习《平面直角坐标系》起始课的一个活动;物理学中电学部分电阻、电流和电压的有关计算，可作为引入反比例函数的情景实例，化学学科中物质的溶解度曲线恰恰又是反比例函数的一支等等.数学的模型思想、符号意识也都会对学习和认识其它学科知识产生影响，数学的价值也会在学生学习这些知识的时候而变得立竿见影，而学好数学就为学好这些学科奠定了一定的基础.教师在设计教学时注意到该部分数学知识与其它学科的联系，并将此合理利用作为课程资源.同时数学对于现代社会分工的精细化同样需要专业技术人员具备良好的数学素质，如银行的金融分析师、国家军工工程师、5G通讯技术开发专家等等，用这些光辉形象的职业连同数学的价值激励学生进一步学好数学.

3.5 数学知识传递中外显隐藏的人文关怀的价值，推动学生对人生的思考，反哺数学教育

斯托布（F.C.Staub）说：“文化常常被视作群体成员所共享的思想的集合……其次，文化常常被看作是体现群体成员共享的思想的习俗的集合.”[11]知识的背后是文化、文化的背后一定是人文关怀，价值也是通过文化的传承递增的.在教授数学知识的同时，传递文化、传承文明、传递人文关怀，传递人类繁衍对新一代的关注也是数学教育的重要任务，而这些需要授课教师根据具体的数学知识发挥自己的教学智慧，将数学与生活现象多联系，如在教授学生有理数加法时，为了让学生体会法则的重要性，可以将加法法则与交通法则对比，一方面让学生体会加法计算必须使用加法法则，另一方面对学生进行安全法规的教育.再如在教授尺规作图时，有些学生会对过一点作已知直线的垂线质疑，因为作垂直利用直角三角板即可（实则不够规范），严格来说要用直尺和圆规，通过这个例子教育学生没有规矩不成方圆.从数学和数学教育中渗透出来的人文关怀以及人生哲理绝对不是“学习不刻苦，不如回家卖红薯”的扭曲价值观和“不学习对不起父母”道德绑架，计算中传递出的智慧更加具有说服力，例如笔者经常用0.99365≈0.02552和1.01365≈37.78343两个式子与学生分享每天比别人多努力一点，那么一年之后就会比别人收获更多，而每天比别人少一点努力，那么一年之后就会与别人拉开巨大的差距，这要比“逆水行舟不进则退”更加形象直观.再如引导学生观察一次函数y=5x-2和y=2x+5的图象，不但得到一次函数的增减性的性质，还得到虽然y=5x-2比y=2x+5起点低，但是攀升速度快，也会在一段时间之后达到一定高度的人生哲理.数学知识不但是思维的载体，更是文化的载体，数学知识中渗透人文关怀，在一定程度上起到了纠偏的作用，文理交融实现了文化类型的整体育人;知识、思维、方法、原则和精神融为一体，实现文化内涵的整体育人[12].而教师通过这种人文关怀，与学生建立良好的情感交流方式和良好的课堂秩序，营造最适宜于调动教师和学生主体性以及主体间性的教学环境，以接近于数学知识真实历史的情境唤起学生对于数学的文化感知力和文化鉴赏力[13]，将知识意义泛化到积极人生的构建上.

4 结束语

教育是统治阶级意志的体现，在我国人民民主专政的政治根基决定了教育为广大人民群众服务，实现整个民族的伟大复习、实现社会的富强、民主、文明、和谐，实现个人人生意义，而这些都要以价值为基础和起点.目前我国正在进行核心素养的教育改革，基于对社会主义本质的认识、马克思主义个性全面发展学说的认识以及国际教育对学生发展价值观的反思，笔者认为，中国学生发展核心素养要体现社会主义的特色和文化的先进性，体现学生发展价值的激励性，应把让每个学生过上有尊严、有价值意义的教育生活，让学生学会选择、自主发展作为核心价值取向，而不是把学生作为人力资本，满足国际经济竞争的需要，制造工具人或功利人[14]，正确的引导学生，让学生认识有价值的数学，激发学生的积极性，努力消除学生的学习疲劳，在解放学生思想的同时，又把学生的思维统一到正确价值观引领数学学习的格局之下，不但有利于学生人生意义的实现，社会属性的提前感受，更加有利于学生对知识技能的快速吸收和内化.时下教师和学生的教学矛盾日益尖锐在一定程度上可以说都是因为对数学的价值认识不清晰造成的，而在认识到数学的价值之后，教师不应该简单的机械的让学生重复的做题，用一张张试卷覆盖学生正值灿然的花季年华，而是引领学生从价值的角度认识自学、讨论、练习、作业、思考对于学习数学的重要性，又该如何高效地完成这些任务？建立价值激励的机制，使学生的付出在情感上有所寄托，信念上有所支撑，价值上有体现，那么数学学习的效率自然会提高.

參考文献

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[13]聂晓颖，黄秦安.论数学课堂文化的内涵与模式及对培养数学核心素养的价值[J].数学教育学报，2017（02）：71-74.

[14]胡定荣.学生发展核心素养的发展观及其教学变革[J].课程·教材·教法，2017（10）：56-62.

作者简介 郑学涛（1987—），男，山东章丘人，中学二级教师，主要从事初中数学教育教学研究，教学教研先进个人、教育教学先进个人;在省级以上期刊发表论文35余篇，其中4篇被人大复印报刊资料全文转载.