辨析应指向思维的过程

王广阔

摘    要  辨析指的是辨别和分析，辨别指向结果的正确性，分析指向过程的逻辑性。辨析不仅要指向结果，还要指向过程。对结果，要分而析之，概括结论;对算式，要正言反察，确立前提;对算法，要聚焦过程，揭示算理。这样，学生获得的就不仅仅是认知的深入，还有深思的能力、反思的习惯，以及带得走的素养。

关键词 辨析 思维 答案 算式 算法

结论是对事实做出总结和论断，辨析是对结论进行辨别和分析。在数学教学中，不能仅仅注重对数学事实的总结和论断，还要注重对数学结论进行辨别和分析。完整的结论包括具体方法、前提和内在的道理。学生对数学结论的归纳和总结不是一蹴而就的，而是逐步完成的。辨别的重点是看结论是否正确，是否全面，分析的重点是看结论是否合理，是否具有一般性。辨别指向呈现的结果，分析指向思维的过程。在数学教学中，不能把教学目标仅仅指向“结论的获得”，而要引导学生反观结论、辨析过程，才能帮助学生获得深入的理解，有效地发展学生的高阶思维。

[案例描述]

学生计算出结果后，笔者将结果和算式展示在黑板上，并引導学生仔细观察，说一说有什么发现。

在反观过程中，引导学生经历了三个层次的观察和辨析，在三次辨析中，学生的认知逐步走向完善，思维渐次走向深入。

一、辨析答案，分而析之，提升概括结论的能力

在课堂教学中，概括结论环节呈现的教学情形往往是这样的：一位学生说出结论，其余同学忙着验证，然后做出恍然大悟的表情。对结论的认知止于学生的验证。然而仔细辨析，学生究竟悟出了什么？果真是“大悟”了吗？并不是，学生只是对发现者的发现做出了正确与否的验证，并没有真的从中悟出概括结论的方法。学生理解了结论，不过是在知识系统中多了一个知识点，但概括结论的能力没有提升。发现结论，先是发现，后是结论。结论固然重要，但更重要的是发现结论的思维过程。一些学生靠直觉能够快速发现结论，但数学教学不能止步于这样的直觉，否则，课堂也就只是部分优等生展示的舞台，更多学生的概括能力没能得到提升。辨别结果不能满足于验证“结论的正确性”，还要对一闪而过的思维过程（直觉）进行辨析。因而，教师不妨进一步追问发现者是如何发现的？引导学生对结果中的分数“分而析之”：分子与加数有什么关系？分母与加数有什么关系？从而帮助学生逐步概括出结论：分母相加的和等于分子，分母相乘的积等于分母。通过对思维过程的辨析，学生对概括结论的方法——“分而析之”有了更加深刻的体验。当学生认识到“分而析之”实际上是把一个复杂问题转化成若干个小问题逐个击破时，就能够在以后概括结论的过程中加以运用，从而在辨析过程中提升学生概括结论的能力。

二、辨析算式，正言反察，掌握确立前提的方法

对于前提，学生往往容易忽视，但是结论必然要有对应的前提。算式的特征往往是结论的前提。对结论前提的认识，也须要不断地进行辨析。一般分为两个层次。

1.概括算式的特征

笔者把结论板书在黑板上，组织学生进行概括：所有的分数加法都可以这样计算吗？一石激起千层浪，学生把观察点聚焦在算式的共同特征上，展开了激烈的讨论。通过讨论，学生指出这些算式都具备两个前提：分子都是1，分母都互质。学生对这一结论前提的认识，首先来自对已有算式共同点的概括。

2.辨析结论的前提

算式的共同特征未必完全对等于结论的前提。接着笔者提出两个问题引导学生对概括的前提进行辨析：具备这些特征的算式一定都可以这样算吗？不具备这些特征的算式一定不能这样算吗？两个问题，引发了学生的辩证思考，他们开始举例验证，其思维经历了两个阶段：（1）先是正面举例，通过举“已知前提内的例子”（具有上述特征的例子）进行验证。结果发现：分子是1，分母互质的分数都可以用分母相加做分子，分母相乘做分母的方法进行计算。（2）接着从反面举例，通过举“已知前提之外的例子”再次验证：“分子是1，但分母不互质”与“分子不是1的情况”是否符合这一规律。结果发现：分母不互质，结论也正确，只不过需要约分成最简分数，而分子不是1时结论明显不正确。于是学生把结论扩充为“两个分数单位相加，分母相乘的积等于分母，分母相加的和等于分子。”

两次举例，从“概括共同特征的正言”，到“若非如此的反思”。学生认识到结论需要前提，前提不能过大（分数加法），前提也不能过小（分母互质的分数单位相加），前提和结论之间具有对应关系，也就是在此前提下均可，在此前提外均不可。两次辨析渐次深入。学生更深切的体会到：举例是确立前提的重要方法，但并不是随意举例。确立前提，既要对已有的例子进行概括，又要对概括出的前提进行辨析，举前提外的例子，才能跳出庐山识得全貌。以这样的方式展开教学，学生不仅获得了对结论前提的深入认识，也对举例辨析的方法有了深刻的体验，思维更加严谨。

三、辨析算法，聚焦过程，发展学生的高阶思维

辨析不能仅仅停留在算法探讨的层面，还要引导学生对过程进行辨析，发现内在的算理。道理在哪里？道理藏在过程中。比如，把刚才的计算过程细化如下：

通过审视，学生发现分母相乘的积一定是两个分数的公分母，分子扩大的倍数正好是另一个分数的分母，并且分数单位的分子都是1，因此得出：“两个分数单位相加，分母相乘的积等于分母，分母相加的和等于分子”。在此基础上概括出字母表达的规律式子：

完整细致地展现计算过程，引导学生反观、体悟、辨析，有利于揭示内在算理，帮助学生获得深刻的体验和认知。辨析不止步于方法，引导学生由法及理，由具体到抽象，学生的思维便会拾级而上，走向深度思考，从而促进高阶思维的发展。这一提升依靠的不仅是探究，更是回过头来的辨析。回过头来对过程进行辨析，学生就能够从对方法的关注转向对内在联系与深层算理的关注，关注了内在联系，关注了深层次的算理，也就关注了问题的本质，也就对问题获得了一般性的认知和理解。

综上所述，把结论当作教学的终点，势必会忙着记忆，一味强化，急着运用，学生提升的就不是能力和素养。而把结论当作学习的资源，就要对结论获得的过程、结论的前提、结论的道理进行深入的辨析。深入追问学生的直觉，辨析发现的过程，仔细比较算式的特征，辨析结论的前提，以慢镜头的方式回放计算的过程，寻求方法和过程的联系。这样的教学是对结果进行诊断，是对方法进行追问，是对过程进行辨析，是对思维进行思维。学生获得的就不仅仅是知识和技能，还有深思的能力、反思的习惯，以及带得走的素养。

参考文献

[1] 史宁中.数学基本思想十八讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[2] 余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.

[责任编辑：陈国庆]