具有分级感染率的时滞SLARS网络病毒传播模型稳定性分析

杨远航

（安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠233030）

目前，计算机网络和信息技术在各行各业及日常生活中广泛应用[1]，但随着其应用范围的不断扩大，网络病毒的传播也带来更大的破坏力和经济损失，严重影响人们的工作和生活。为了有效控制网络病毒的传播，国内外学者提出了不少基于传染病模型建模原理的网络病毒传播模型，如SEIR 模型[2-3]、SEIRS模型[4-5]、SEIQRS模型[6-7]，但是这些模型均假设处于潜伏状态的节点不具有传染能力，然而在现实生活中，潜伏状态的节点也可以通过移动存储设备将其中的病毒传染给其他节点[8]。在这种情况下，文献[9]提出了具有分级感染率的网络病毒传播模型：

其中τ为恢复节点再次被感染所需要的时间周期引起的时滞。

1 有病毒平衡点稳定性分析

系统(2)在病毒平衡点E( S*,L*,A*,R*)处的线性化部分：

其中，a11=-β1L*-β2A*-μ，a12=-β1S*，a13=-β2S*，a21=β1L*+β2A*，a22=β1S*-ε-μ，a23=β2S*，a32=ε，a33=-γ-μ，a43=γ，a44=-μ，b14=α，b44=-α。

系统(3)的特征方程为

成立，则模型(2)的有病毒平衡点E( S*,L*,A*,R*)是局部渐近稳定的。当τ ＞0 时，假设λ=iω( ω ＞0 )为特征方程(4)的根，整理特征方程的实部和虚部可得：

进一步整理方程组可得：

对方程(4)的等号两端τ进行求导，得到：

综上所述，结合Hopf分支定理[9]得到：对于模型(2)，如果成立，则当时，模型(2)的有病毒平衡点E是局部渐近稳定的；当τ=τ0时，模型(2)在有病毒平衡点E( S*,L*,A*,R*)处产生Hopf分支。

2 仿真示例

为了验证上述理论推导的正确性，给出如下仿真，参数值：μ=0.001，β1=0.1，β2=0.15，α=0.05，ε=0.05，γ=0.02，模型(2)的示例模型如下：

利用Matlab软件可以计算得到系统(6)存在唯一有病毒平衡点E(0.1116,0.207 3,0.4936,0.1936)，进一步计算得到ω0=0.940 4，τ0=24.25。根据上述结论，当τ=20.75，即τ ＜τ0时，模型(6)是局部渐近稳定的，其仿真效果如图1所示；当τ=28.75，即τ ＞τ0时，模型(6)失去稳定并产生局部Hopf分支，其仿真效果如图2所示。

图1 τ ＜τ0时稳定

图2 τ ＞τ0时失去稳定并产生Hopf分支

3 结 论

考虑到恢复节点因为装有反病毒软件而具有一定的临时免疫期，基于文献[9]中的SLARS网络病毒传播模型，本文提出了一类具有临时免疫期时滞的SLARS病毒模型。经过模型推导，根据赫尔维茨稳定性判据得到模型局部渐近稳定和产生Hopf 分支的充分条件，该结果是对文献[9]研究工作的适当补充。研究结果表明，在一定条件下，当时滞时，模型局部渐进稳定，有利于对网络病毒传播的控制。当时，模型将由稳定状态变为不稳定状态，并在有病毒平衡点处产生Hopf分支。此时网络病毒在网络中的传播将变得难以控制，因此，在现实网络中，应该对恢复节点的反病毒软件进行及时更新和升级，以保证其临时免疫期尽可能长。