复杂声边界约束下水中圆柱壳声振特性研究

翁凌霄,缪宇跃,李天匀

(1.南昌工学院 新能源车辆学院，南昌 330108；2.中国舰船研究设计中心，武汉 430064；3.华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074)

引水下圆柱壳在实际工程中运用十分广泛。水下管路、潜艇以及浮筒等均含有圆柱壳构件。早期的研究将圆柱壳视为无限长，研究其在无限流域中的振动和声辐射特性，而不考虑流域边界对辐射声场的影响。这方面的研究工作很多，如Zhang等[1]运用波传播法分析了充液圆柱壳的自由振动特性，Liu等[2]研究了静水压力下圆柱壳声辐射特性。

目前，非无限流域中(部分浸没、水面或水底存在的半无限流域)圆柱壳的声振问题研究工作较少。Ye[3]基于波传播方法，对部分浸没无限长圆柱壳声振特性进行研究，得出了高频激励时远场声压近似解析表达式。Hasheminejad等[4]通过使用变量分离方法、波数域扩展、镜像原理和平移加法定理来研究靠近无限大平面的无限长圆柱壳的半无限域声辐射问题，由于设定了圆柱壳的速度形式，相当于二维圆柱壳的半无限域声辐射问题，其关注点在于界面对声场等声学物理量的影响。随后该研究方法被用于阻抗边界条件下半无限域中圆柱壳的声辐射问题中[5]。Li等[6]研究半浸没的无限长圆柱壳的远场声辐射特性，分析了不同参数(流体流速、结构阻尼、激励点位置和结构厚度)对辐射声压的影响，研究发现声压和共振频率随着流体流速的增加而增加，远场辐射声压与激励点位置和激励频率有关，通过增加结构阻尼可有效降低辐射声压。Salaün[7]研究了高频激励情况下开口和半浸没封闭圆柱壳的声辐射问题，研究发现声压并不是单调衰减，其变化依赖于激励力位置，之外，结构阻尼对声压也存在一定影响。Li等[8]基于镜像原理、稳相法和Graf加法定理提出一种解析方法研究考虑自由液面影响情况下水中无限长圆柱壳的声振特性，研究结果表明圆柱壳浸深的变化对其远场辐射声压有重要影响。Chen等[9-10]利用以上方法，结合双反射原理进一步推导了自由液面和垂直刚性壁面边界所构成四分之一无限流域中无限长圆柱壳的声学解析式，文中方法未实现圆柱壳的振动和声载荷耦合求解，仅分析了假定振速(脉动振速)情况下圆柱壳的声辐射特性，未能研究激励力作用下的圆柱壳耦合振动问题。Guo等[11]研究了自由液面作用下水中有限长圆柱壳的声振特性，提出一种求解有限长圆柱壳振动响应的解析法，并利用声学边界元法求解远场辐射声压，研究表明浸深超过一定值后自由液面对圆柱壳振动的影响可忽略，论文还对远场辐射声压指向性和波动性进行了分析。

目前解析法在处理流场边界条件等方面比较困难，一些研究者通过引入数值技术或采用数值方法来研究。邹元杰等[12]联合有限元法和边界元法建立半无限流域中结构的流固耦合振动方程，分析了刚性壁面和自由液面对半无限流体域中结构的固有频率、振速和辐射声功率的影响，当结构距离刚性壁面或自由液面足够远时，其表面振速不再随着距离变化而变化。Ergin等[13]根据实验和源于三维水弹性数值模型的理论预报方法，分析了考虑自由液面作用的有限长圆柱壳的自由振动特性，如固有频率、共振频率和模态振型等。之后，Ergin等[14]究了部分充液和部分浸没的无限长圆柱壳的自由振动特性，其中引入了边界积分方法和镜像法来近似满足自由液面边界条件，并假设圆柱壳在自由液面以上部分处于真空之中。Brunner等[15]用耦合的有限元和边界元方法研究部分浸没的船舶结构和圆柱壳结构的声学性能，通过有限元方法建立结构的质量矩阵和刚度矩阵，使用迭代算法和快速多极算法来加快计算速度。Zhou等[16]合有限元和边界元方法计算水下加筋圆柱壳结构的振动和声辐射特性。先由有限元软件NASTRAN计算结构振动，然后由边界元方法计算结构的声学附加质量和阻尼系数，最后将声学附加质量和阻尼系数加入结构质量和阻尼矩阵中。缪宇跃等[17]据声学边界元理论，考虑海面和吸声海底的声反射作用，建立波导域声辐射模型，分析了浅海中圆柱壳的声辐射特性，并用声学点源的辐射叠加原理解释研究现象的产生机理。

以上研究均未提出分析多边界组合情况下圆柱壳声振耦合问题的一体化解析方法，而耦合声振方程的建立和将振速、声压一体化求解正是突破此类问题的一个难点。因此，本文对自由液面(或水平水底)和垂直刚性壁面所构成四分之一无限流域中无限长圆柱壳的声振耦合问题进行研究，建立复杂声边界约束下的无限长圆柱壳的声振耦合方程，得到辐射声压解析表达式，深入分析两种组合声边界和边界距离对圆柱壳声振特性的影响，进一步拓展非无限域中结构振动与声场耦合问题的研究思路。

1 声振耦合理论

四分之一无限流域(边界由相互垂直的自由液面和刚性壁面组成)中无限长圆柱壳结构和圆柱坐标系(r，φ，z)如图1所示，其中r，φ和z分别表示圆柱壳的径向、周向和轴向。圆柱壳完全浸没于水中，其轴线与自由液面平行，轴线到自由液面的距离为H，到刚性壁的距离为D，圆柱壳的厚度为h，平均半径为R，杨氏模量为E，泊松比为μ，密度为ρ。流体密度为ρf，流体中声速为cf。频率为f的轴向均匀线激励力fr沿径向作用于圆柱壳外表面(R,φ0)处，圆柱壳外表面受到的流体声载荷为f0。声场中任意观测点P位于自由液面以下，与原点o1的距离为r1，所对应周向角为φ1。设p为P点声压有效值，声压级定义为SPL=20lg(p/p0)(dB)，p0=1×10-6Pa。

图1 四分之一无限流域中无限长圆柱壳和坐标系Fig.1 The infinite cylindrical shell in the quarter-infinite fluid domain and the corresponding coordinate system

圆柱壳的振动基于Flügge壳体理论(简谐时间项exp(iωt)省略)

(1)

式中,u、v和w分别表示圆柱壳轴向、周向和径向位移，矩阵[L]中元素如下

作用位置为(R,φ0)的轴向均匀线激励力fr可表示为与轴向无关的函数

fr=F0δ(φ-φ0)

(2)

式中，δ()为Delta函数，F0为激励力幅值。

轴向均匀线激励力作用下，u、v、w和f0可表示为轴向无关的级数形式

(3)

(4)

(5)

(6)

其中Un、Vn和Wn是圆柱壳的轴向、周向和径向位移幅值，fn是流体声载荷幅值，n是级数展开系数，i表示单位虚数。

将式(2)～(6)代入(1)并进行正交处理得到

(7)

其中frn=F0exp(-inφ0)/(2π)，矩阵[T]中元素为

T11=Ω2-n2(1+K)(1-μ)/2，

T22=Ω2-n2，T33=1+K+Kn4-2Kn2-Ω2，

T12=T21=T13=T31=0，T23=T32=in。

由式(7)得到关于径向位移的耦合振动方程

(8)

其中IT=T11T22/|T|。

式(8)中Wn和fn是未知的，下面求解其具体表达式。如图2所示，根据镜像原理，由于流域边界对声波的反射作用，圆柱壳的声场是由实源辐射声部分和虚源反射声部分叠加而成，因此流域中任意观测点P的声压可表示为

(9)

式中：p1为实源辐射声压；p2表示自由液面产生的虚源辐射声压；p3表示刚性壁面产生的虚源辐射声压；p4表示复杂边界产生的虚源辐射声压；r1～r4分别为各个声源中心到点P的距离；φ1～φ4分别为周向角。

图2 四分之一无限流域中镜像法示意图Fig.2 The image method for the quarter-infinite fluid domain

p1～p4可表示为如下形式

(10)

An=-B-n，Cn=-D-n

(11)

由于刚性壁面上振速为(∂(p1+p3)/∂y=0，∂(p2+p4)/∂y=0)，且有r1=r3，φ1+φ3=0，r2=r4，φ2+φ4=0，同样可得到

An=(-1)nC-n，Bn=(-1)nD-n

(12)

由式(11)和(12)可知

Bn=-A-n，Cn=(-1)nA-n，

Dn=(-1)n+1An

(13)

于是可得到

(14)

(15)

应用贝塞尔函数Graf定理[18]式(15)中四个坐标系统一，即将坐标系o1～o3转换至坐标系o1中。如图3所示，ρk和ρj是P与原点ok和oj的距离，rkj是原点ok和oj间的距离，φk、φj和θkj是对应的周向角，m是展开系数。Graf定理表示为

(16)

根据Graf定理，式(15)中的后三项可转化为

(17)

(18)

(19)

设β=min(H,D)表示H和D二者中较小值，将式(17)～(19)代入式(15)可得

p=

(20a)

=

(20b)

由此获得fn(r1<2β)的表达式

exp[i(n+m)π/2]-

exp[i(m-n)(φL+π/2)]

(21)

根据圆柱壳外表面的径向位移连续条件可得

(22)

将式(5)和(20a)代入式(22)并正交化处理可得到Wn的表达式

exp[i(n+m)π/2]-

(23)

将式(21)和(23)代入式(8)可得耦合振动方程

F0exp(-inφ0)/(2π)

(24)

其中α=(hρkf)/(Ω2ρfIT)。

通过求解矩阵方程(24)可得到幅值向量An，再结合式(23)、(5)和(20)可得到位移Wn和远场辐射声压(r1>2L)。其中展开系数需要截断，为方便计算可设m和n的截断数相等。

以上解析方法可以推广应用于水平水底(本文假设水底为刚性)和垂直刚性壁面组合情况，只需改变式(9)、(14)和(15)中p2和p4的相位，即p=p1-p2+p3-p4，其他推导过程基本相同，不再赘述。此时，H表示圆柱壳轴线到水平水底的距离，将图2旋转180°即为水底在圆柱壳下方的情况，但为统一坐标系，仍可参照原图2，并不影响计算结果。

2 算例分析

2.1 方法验证

当水下无限长圆柱壳受轴向均匀线激励力作用时，其各圆截面的振动情况相同，表面振速和辐射声压不随轴向变化，可等效为二维声辐射问题，此情况下可采用二维半空间声学边界元法(BEM)求解其辐射声压，并将两种方法的计算结果对比验证。设圆柱壳和流体参数为：h=0.005 m，R=0.25 m，E=2.1×1011Pa，μ=0.3，ρ=7 850 kg/m3，ρf=1 025 kg/m3，cf=1 500 m/s，F0=1 N/m，φ0=0，r1=50 m，H=0.5 m，D=0.5 m。设结构阻尼因子为η=0.01，于是复杨氏模量为E′=E(1+iη)。经过分析，在以上参数条件下，n取20可使计算结果收敛。

对w求导得到圆柱壳表面任意点法向振速vn(vn=w′)并代入二维声学边界积分方程式(25)中可得到任意观测点P的声压

(25)

式中:∂p(Q1)/∂nΓ=-iρfωvn，vn是单元法向速度，ω是圆频率。Г是二维积分边界，nГ为任意边界点Q1处内法向单位向量。C(P)是P点系数，P在Г上，C(P)=0.5；P在Г外，C(P)=1；P在Г内，C(P)=0。Q2～Q4为Q1的镜像点，rPQ1～rPQ4分别为P和Q1～Q4的距离，如图4所示。

图4 四分之一无限流域中的格林函数Fig.4 The sketch of BEM in the quarter-infinite fluid domain

由于流域边界产生镜像反射，积分方程基本解应为实源和三个虚源的格林函数叠加[19-20]

(26)

对于水平水底和垂直壁面组合情况，积分方程基本解中的虚源项格林函数需要相应地改变相位，将式(26)中负号改为正号即可。

对圆柱壳周向划分20个线性边界单元，如图5所示。对于两类组合声边界(设FV表示自由液面+垂直壁面，HV表示水平水底+垂直壁面)，采用边界元法和解析法计算不同频率下的无限长圆柱壳声压级指向性如图6所示，从图6中可见两种方法计算结果吻合很好，这说明解析法是正确可靠的。

2.2 复杂声边界对振动的影响

图5 二维线性边界单元Fig.5 The 2D linear elements

(a)f=50 Hz

(b)f=100 Hz

(c)f=50 Hz

(d)f=100 Hz图6 边界元法与解析法计算声压级指向性对比Fig.6 The comparison of the acoustic directivity

(a)H/R=10,D/R=1.1、1.5、2.0

(b)H/R=10,D/R=2、3、10

(c)D/R=10,H/R=1.1、1.5、2.0

(d)D/R=10,H/R=2、3、10图7 不同位置处的均方振速Fig.7 The quadratic velocity at different positions

图7显示当圆柱壳离边界很近时均方振速随距离增大变化明显；当距离超过三倍半径后，均方振速随距离变化很微弱，甚至可忽略。这说明当圆柱壳离边界的距离超过临界值(三倍半径)后无论是自由液面还是刚性壁面对圆柱壳振动的影响都可以忽略，此时圆柱壳的振动状态近似于无限域状态。从物理本质看，这是因为相对于实源，虚源到圆柱壳表面的距离较远，对振动的叠加作用很微弱。从数学角度看，r2～r4远大于r1，根据汉克尔函数的性质(其幅值随变量增大而衰减)，式(15)、(21)和(23)中由虚源产生的后三项汉克尔函数的幅值远小于实源产生的第一项汉克尔函数的幅值，故虚源产生的声载荷可以忽略。

进一步观察可发现，当圆柱壳离边界很近时，D不变而H增大时均方振速曲线的峰值频率减小；H不变而D增大时峰值频率增大，这说明圆柱壳的共振频率受到不同声边界的不同影响。不论是从物理本质还是数学角度看，其原因是自由液面产生两个与实源(p1)反相位的虚源(p2和p4)，削弱了声载荷幅值，这种削弱效果在圆柱壳靠近自由液面过程中增强，使附连水质量减少，增高了圆柱壳的固有频率，文献[11]中也讨论了类似问题；而刚性边界产生两个与实源同相位的虚源，增强了声载荷幅值，这种增强效果在圆柱壳靠近刚性边界中增强，使附连水质量增加，降低了圆柱壳的固有频率。可见在靠近边界情况下，不同类型声边界对圆柱壳振动特性的影响是不同的。

2.3 复杂声边界对表面辐射声功率的影响

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)图8 圆柱壳表面辐射声功率级对比图Fig.8 The comparison of acoustical power

图8(a)显示当H=D=4R时，两类组合声边界情况下的表面辐射声功率级曲线基本重合，这说明圆柱壳到边界的距离足够远，以至于边界对表面辐射声功率的影响可以忽略。根据上一小节分析可知当圆柱壳离边界的距离超过临界值(三倍半径)后无论是自由液面还是刚性壁面对圆柱壳振动的影响都可以忽略，而对于圆柱壳的表面声压，此时虚源距离实源足够远，对声载荷的叠加作用十分微弱。从数学角度看，由式(22)的圆柱壳外表面径向位移连续条件可知，表面声压由径向位移(振速)决定，当振速一定时，表面声压也相应保持稳定，故此时表面辐射声功率级近似于不受声边界约束的无限域状态。

另外，分别对比图8(b)和(c)以及图8(d)和(e)可发现随着距离增大，两类组合声边界情况下的表面辐射声功率级曲线趋向于无限域状态，这点与前文分析是一致的，但是其变化程度有明显不同：同样距离时，HV情况下的表面辐射声功率级与无限域状态的差别明显大于FV情况下二者的差别，声功率级曲线峰点位置的提高和偏移都更加明显。实际计算中，变换激励力作用角度时，也表现出同样的差异。这种现象反映了不同声边界条件对表面辐射声功率的影响程度是不同的，无论是物理角度还是数学角度，其根源也是自由液面和刚性边界产生了不同相位的虚源，前者为负，削弱了声载荷的叠加作用；后者为正，增强了声载荷的叠加作用。所以相对于无限域状态，HV情况下的圆柱壳表面辐射声功率随距离变化更显著。

2.4 复杂声边界对辐射声场影响

在FV边界条件下，令φ0=0，D和H分别保持为10R，使其中一个变化，可以看到圆柱壳辐射声场中观测点P(φ1=π/4，r1=50 m)的声压级在400 Hz内随H和D的变化如图9所示。

(a)D=10R

(b)H=10R图9 声压级随频率的变化Fig.9 The variation of SPL with frequencies

从图9可看到复杂声边界条件下点P声压级随H和D的变化十分明显，当H和D很小时出现显著峰值，而且这些峰值点紧靠在图7显示的共振频率附近，这说明当圆柱壳靠近流域边界时会在共振频率处产生十分明显的辐射噪声。

同时，当H和D达到五倍半径时，场点声压级仍然与十倍半径时的场点声压级有显著差别，这与表面声压的变化情况是明显不同的，这是因为场点P到圆柱壳的距离远大于H、D和R，使得r1～r4差别不大，由任意场点声压解析表达式(15)可知，p1～p4幅值处于同量级，虚源项的叠加作用是显著的，而若是场点P落在圆柱壳表面，则r1明显小于r2～r4，使得p2～p4幅值量级远小于p1，虚源项的叠加作用微弱而可忽略。故对于整个辐射声场而言，声边界的约束作用是不可忽视的。

3 结 论

本文基于壳体理论，运用镜像原理和Graf加法定理提出一种解析方法，研究了自由液面(或水平水底)和垂直刚性壁面组成的复杂声边界约束下的水中无限长圆柱壳的声振特性，得出如下结论：

(1)圆柱壳靠近边界时，其振动和表面辐射声功率明显受到边界影响，自由液面使其共振频率增大而刚性壁面使之减小。

(2)圆柱壳靠近边界过程中，相比于自由液面和垂直壁面组成的声边界，水平水底和垂直壁面组成的声边界会使其表面辐射声功率峰值产生更显著的提高和偏移。

(3)当圆柱壳远离边界超过几倍半径(文中算例临界值是三倍半径)时，其振动和表面辐射声功率受复杂声边界影响很微弱，甚至可忽略，而复杂声边界对其辐射声场的约束作用仍然很明显。

(4)圆柱壳十分靠近边界时，在共振频率处会产生显著声压峰值，提高了辐射噪声的上限，这十分不利于水下结构的隐蔽。