Hörmander向量场上变指数空间的嵌入定理

李炳耀，李 霞，李有文

(中北大学 理学院， 太原 030051)

Sobolev嵌入定理在偏微分方程中具有举足轻重的作用。欧氏空间上 Sobolev 嵌入理论已经很完善,如:当Ω是RN上具有锥性质的区域,m≥1 为整数时,若设 1≤p<∞,如果或者mp>N或者m=N,p=1,则对于p≤q≤∞,有Wm,p(Ω)→Lq(Ω); 若设p>1,如果mpN,1≤q≤∞,则Wm,p(Ω)→→Lq(Ω0)。更多关于Sobolev嵌入的性质参见文献[1]。

关于向量场上的Relich紧嵌入定理由Lu在文献[4]给出，受上述结果的启发,本文主要研究Hörmander向量场上变指数空间的嵌入性质。

则Wk,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

p(x)≤q(x), a.e.x∈Ω,

且

则Wk,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

1 基本知识

1.1 Hörmander向量场

X(1)={X0,X1,…,Xp},X(2)={[X0,X1],…,[Xp-1,Xp]}

则X(k)的分量是长度为k的交换子。设Y1,…,Yq是X(1),…,X(m)分量的一些枚举， 如果Yi是X(j)的一个元素,则称Yi具有正规次数d(Yi)=j。 关于向量场及其交换子几何性质的详细情况参见文献[10-11]。

下面定义Ω上的度量ρ。当且仅当存在一个绝对连续映射φ∶[0,1]→Ω且φ(0)=x0,φ(1)=x1,并且几乎所有的

都具有 |aj(t)|<δd(Yi)， 然后由

B(x,δ)={y∈Ω|ρ(x,y)<δ}

给出Ω上相应的球族。

这类球反映了向量场X0,…,Xp和它们的交换子的非各向同性性质。球B(x0,δ) 在X0,…,Xp指定的方向上基本上具有大小δ,而在长度为2的交换子给出的方向上具有大小δ2,在长度为3的交换子给出的方向上具有大小δ3等。

1.2 Hörmander向量场上变指数空间

(1)

其中：k为给定的正整数；Q为齐型维数；kp

集合

Lp(x)(Ω) 上引进如下范数:

则Lp(x)(Ω) 成为Banach空间。 由文献[12]知,Lp(x)(Ω)是Nakano空间,它是Musielak-Orlicz空间的一种特殊形式。

对于任何正整数k,集合

可以在Wk,p(x)(Ω) 上引进如下范数:

α是一个向量,α=α1,α2,…,αn,这样Wk,p(x)(Ω) 也成为Banach空间。

关于变指数空间的其他更多结论,如插值与加权范数不等式,见文献[13]。文献[14]给出了欧氏空间中变指标Lebesgue空间的大小空间嵌入,文献[15]给出了变指数空间中加权Kato-Ponce不等式,文献[16]给出了无界拟距离空间中变指数空间上的极大算子理论,文献[17]给出了变指数函数空间中,通过奇异积分算子与分数阶积分算子的交换子刻画Lipschitz函数的过程等。

2 定理的证明

为了论述上的方便,本文只证明k=1的情形，k>1的情形可由数学归纳法得来。

在证明本文结论之前,先给出下述引理：

则W1,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

证明对于任何u∈W1,p(x)(Ω){0},只需证明u∈Lq(x)(Ω)，记

在3种情况下研究引理1。此后,用Ci和C表示与u无关的正常数。

(2)

(3)

显然,f∈LQ/(Q-1)(Ω),因此

(4)

易知

(5)

由于

故有

(6)

由式(4)～(6)及(3)得

(7)

记

下面分别估算J1、J2、J3。

由Young不等式知

(8)

根据引理1(h3)及

易知

(9)

根据(h1)及

易知

(10)

由式(8)～(10)及式(2)得

(11)

又

其中ε是充分小的正数。因此有

(12)

和

(13)

其中式(13)可由 (h3) 而得。

根据式(10),令t0>1,有

(14)

令

设

则式(13)意味着 0

令

(15)

那么

因为

和

所以有

(16)

为了估算J3,令t0>1,那么有

(17)

令

(18)

根据(h3)得

0

假设Ω1和Ω2如同式(15)中那样定义,根据式(17)和(18)可得

(19)

由式(7)(11)(16)及(19)得

(20)

整理式(20)并用C表示一个新常数，得

(21)

如果λ≥1,那么易由式(21)得

(22)

不失一般性,假设C0>1,如果λ<1,则式(22)自然成立。因此,需要证明存在C0>1,C0与u无关,使得

(23)

(24)

情形2对任何u∈W1,p(x)(Ω)∩L∞(Ω),证明其满足式(24)。

令 {ψn}⊂C∞(RN,R)(n=1,2,…) 满足

ψn(x)=1, ∀|x|≤n;ψn(x)=0,∀|x|≥n+2;ψn(x)∈[0,1],|Xψn(x)|≤1,∀x∈RN

显然,

|Xun(x)|≤|ψn(x)Xu(x)|+|u(x)Xψn(x)|≤|Xu(x)|+|u(x)|

根据式(24)得

因为un(x)→u(x) a.e.x∈Ω,根据Fatou’s引理有

(25)

其中C>1,C是与u无关的常数。

情形3对任何u∈W1,p(x)(Ω),证明其满足式(24)。

对于n=1,2,…,令

则un∈W1,p(x)(Ω)∩L∞(Ω)，注意到

由式(25)知

因为un(x)→u(x) a.e.x∈Ω,根据Fatou’s引理有

因此,u∈Lq(x)(Ω)，即W1,p(x)(Ω)⊂Lq(x)(Ω)。

定理1的证明令q(x)=p*(x),则q(x) 满足引理1的条件,因此存在连续嵌入W1,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

对于满足定理1条件的任何可测函数q(x),令u∈W1,p(x)(Ω),有

因此，u∈Lq(x)(Ω),即W1,p(x)(Ω)⊂Lq(x)(Ω)。

如果ε充分小,则有

要证明定理3,需要下面的引理。

则Δ中的每个实值函数均为勒贝格可积,且函数族Δ在Ω上等度绝对连续可积。

则存在连续嵌入W1,p(x)(Ω)→Lα(x)(Ω)。

令A⊂W1,p(x)(Ω) 有界,则A是Lα(x)(Ω) 的一个有界子集。因此,存在正常数L,使得

表示为

Δ={f|f(x)=|u(x)|q(x),u∈A}

令

Φ(t)=tε, ∀t≥0

根据引理2知,Δ 在Ω上等度绝对连续可积。因为存在连续嵌入W1,p(x)(Ω)→W1,1(Ω) 和紧嵌入W1,1(Ω)→L1(Ω)，可知A⊂L1(Ω) 是相对紧的。令{un}⊂A,则{un}在L1(Ω) 上有收敛子序列。不失一般性,用{un} 表示。易知,un在Ω上依测度收敛于u。由此可以注意到{|un(x)|q(x)}⊂Δ 在Ω上等度绝对连续可积，因此

显然,

|un(x)-u(x)|q(x)≤2p+(|un(x)|q(x)+|u(x)|q(x))

即{|un(x)-u(x)|q(x)} 在Ω上等度绝对连续可积，这样有

因此,在Lq(x)(Ω) 上有un→u，这证明W1,p(x)(Ω) 的任何有界子集A是Lq(x)(Ω)的相对紧集。