善用背景知识构建模型解题

杨亚军

【摘 要】要发展和培养学生的學科核心素养，必须在日常的课堂教学和训练中逐步培养。过去靠刷“套题”、刷“陈题”的方法已无法适应教育和高考选拔对人才的培养要求，适应这一变化的有效办法应该是设计、编制对学生来说陌生的新问题。本文从一道立体几何陌生问题的设置与解决，做了一点探索与实践。

【关键词】核心素养直观想象几何模型逻辑推理

【中图分类号】G643.5       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）24-0288-02

“素养”，是一个人在非意识的情况下，他的行为模式和能力水平的体现。要发展和培养学生的学科核心素养，必须在日常的课堂教学和训练中逐步培养。特别在学生有了较扎实的低阶思维能力（知识、技能、应用）的基础上，要有意识地培养和发展学生的高阶思维能力（分析、评价、创造），但这靠刷“套题”、刷“陈题”几乎是不可能的。较有效的办法应该是设计、编制对学生来说陌生的问题，以此让学生调动其所学，来解决这样的问题。所谓陌生的问题，就是要让学生咋一看无从下手，更没有现成的同类题型或解法套路可直接套用。下面结就以这个具体的“陌生”问题为例，谈谈学生在面对这类问题时，该如何思考，如何应用平时所学解决这样的新问题。

问题：已知三条直线a，b，c两两异面，在空间是否存在这样的直线，它与这三条直线a，b，c同时相交？若存在，有几条？若不存在，请说明理由。

首先，这是一道开放的问题;这也是一道相对抽象的问题。其次，这是一道对学生而言相对陌生的问题，与他们平时常见的，在具体几何体中判断或证明有关直线、平面间位置关系的题目大不一样。没有具体的几何体作载体，问题的解决方向和问题的结论都很茫然，加之异面直线本身就是立体几何中理解起来有一定难度的一个概念，而且这里涉及到了三条两两异面的直线。

在学生完成了对立体几何相关内容的学习之后，给出这样的探索性问题，既能很好的检查学生对立体几何双基的掌握情况，更能激发学生调动所学，认真分析、大胆尝试、相互交流，在思考与实践，在探索与碰撞中发展学科核心素养，锻炼、提升高阶思维能力。

该问题难在情境陌生、研究对象的不确定性及结论的未知性上。若学生一下子确实找不到切入点，可引导学生将问题难度先降低一点：比如将异面直线的条数由三条减为两条，使问题变为“已知直线a，b异面，过空间的一点P，作与直线a，b同时相交的直线，这样的直线能做出来吗？若能，能作几条;若不能，请说明理由。”若学生还是没有头绪，可再将两条异面直线改为共面直线（比如相交或平行），让学生考虑。

这时，大多数学生应该能意识到，平面出现了（两条相交或平行直线都能确定一个平面），不妨记这个平面为M。一旦有了这个平面M，（a，bM），学生的思路应该能打开了。此时的结论显然与点P是否在平面M内密切相关。比如，当a∥b时，若点P∈M，则过点P与直线a，b同时相交的直线有无数条;此时若点P M，则过点P与直线a，b同时相交的直线不存在（由异面直线的判定定理可知）。当a∩b=A时，若点P∈M，则过点P与直线a，b同时相交的直线有无数条;此时若点P M，则过点P与直线a，b同时相交的直线有且只有一条（就是直线PA）。从这个“降维”问题的解决中，我们能感受到平面M在解决问题中的作用。事实上，在几乎所有立体几何问题的解决过程中，特定的平面都扮演了重要且关键的角色（空间问题平面化本来就是我们研究解决空间问题的一条基本途径）。

此时教师可以引导学生，在刚才解决“降维、简化”以后的问题中，我们引入的平面M，相当于我们引入了一个背景或参照物，这使得我们的研究有了参考，有了分类的标准。我们以前也有过类似的实践，比如，我们过去要比较log32与log3π的大小，是怎么做的？就是利用对数函数y=log3x的单调性进行比较。问题是，当时怎么就想到要用这个对数函数的性质？其实，我们当时是注意到这两个对数的底数相同，于是把这两个具体的对数形式的数，放在了一个背景中，放在了一个与他们同底数的对数函数y=log3x的背景中，从而使问题迎刃而解。

有了这样的实践体验与探索之后，我们再面对两条异面直线的情况，我们可否也把它们置于某种我们熟悉的背景中研究呢？答案是肯定的。这时能否也引入平面帮助解决呢？有些学生想到了“在研究异面直线所成的角时，可通过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，从而得到一个平面”;也有同学想到了“分别在两个平行平面中的两条直线，要么平行，要么异面”;还有些同学想到了“分别经过直线a，b的平行平面M，N（如图1所示，M∥N，a，b′M，b，a′N，a∥a′，b∥b′）”.经过一番分析、探索之后，思路逐渐清晰。加之题目中两条直线a，b的地位是平等的，所引入的平面经过直线a还是经过直线b，可能对结论产生影响。

至此，我们把这个问题也置于了我们熟悉的情境或背景中——面面平行。有了这个熟悉的背景，剩下的问题学生就能轻易解决。若点P∈a（或点P∈b），则过点P与直线a，b同时相交的直线有无数条;若点P∈M，但点P a（或点P∈N，但点P b），则过点P与直线a，b同时相交的直线不存在;若点P M，且点P N，则过点P与直线a，b同时相交的直线有且只有一条（这条唯一的直线就是直线PQ，其中Q点就是由点P与直线a确定的平面G与直线b的交点，如图2）。至此，这个学生咋一看陌生，甚至无从下手的题目，在引入了他们熟悉的平行平面的背景之后，问题也顺利解决。

进而，对一开始提出的问题：与三条两两异面的直线都相交的直线的条数问题也不难解决。只要能把问题转换为：比如过其中一条直线c上的每一点，作与另两条异面直线a，b都相交的直线，是否能做出？利用刚才的结论，直线c上至多存在两个点，做不出与直线a，b都相交的直线，而直线c上的其余无数个点，过每个点都能做出一条符合题意的直线。故，已知三条直线a，b，c两两异面，在空间存在无数条与直线a，b，c同时相交的直线。

在此基础上，我们会发现，要真正理解异面直线，只有在整个立体几何学习结束之后，回过头来，站在面面平行的大背景下看异面直线，才能看清异面直线概念的本质：每一对异面直线原来都有一对“隐形的翅膀”——分别经过两条异面直线的唯一一对平行平面。在这样的背景下，研究异面直线的距离，包括一开始给出的“问题”，都犹如探囊取物。

异面直线公垂线的存在性与唯一性，对学生的理解也是一件相对困难的事情。若能借助于图3中（图中EF为异面直线a，b的公垂线段）的平面N（由直线a′，b确定，a′∥a，a′∥a′′，AD⊥平面N于点D）做背景，依靠图3这一直观的模型，学生就易于理解和掌握了。

这样的实践体验，给学生今后面对陌生问题时，提供了一种分析、研究解决的途径，适当地降低问题难度，摸索解决的切入点;在此基础上，尤其是面对抽象问题时，可考虑联系所学，引入适当的背景或模型，将抽象问题具体化、直观化，再利用所学知识、方法、经验解决陌生的新问题。

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准（2017年版）》，中华人民共和国教育部制定，人民教育出版社，2018.1：4-8.

[2]《数学必修2》，严士健，王尚志主编，北京师范大学出版社，2014.6（2017.7）：36-41.