学历案：自主学习的“导航图”*——以“函数的概念”为例

(象山县第二中学,浙江 象山 315731)

随着数学新课改的深入，“不仅要让学生获取数学知识，更要培养学生自主学习的能力”的教学理念得到了共识.但在实际教学中，自主学习究竟如何开展依旧困扰着广大教师，“教师讲，学生听”的学习模式还是占据主流地位.能否找到一种学习媒介，学生只需遵循媒介中的学习方案就能顺利实现自主学习？“学历案”就是这样一种学习媒介，它是由华东师范大学崔允漷教授首先提出的.“学历案”指的是教师在班级教学背景下，围绕一个具体的学习单位，从期望“学会什么”出发，设计并展示“学生何以学会”的过程，以便于学生自主构建经验或知识的专业方案[1].它是由教师设计的、用于规范或引导学生自主学习的问题，是通向目标的“导航图”.

1 制定学习目标，让学生知道要学什么

学历案中的学习目标要具体化、策略化，即要指明在学习过程中，学生将要获得什么、如何获得以及掌握到什么程度.围绕着这3个方面，学习目标可以分为：成果性目标、过程性目标、创造性目标[2].具体内容如表1所示：

表1 学习目标的3个方向

这样的目标分类更具整体性与针对性，在它的“导航”下，学生就能在学习过程中顺利实现自我激励、自我调适与自我评价.

教学目标通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要模型，在此基础上能够用集合与对应语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域[3].

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中的教学目标表述方式属于“中位”表达，通常不够具体，缺乏可操作、可度量的具体标准.比如，“了解到什么水平”“体会到什么程度”必须要明确，否则自主学习容易迷失方向.

本节课的核心教学目标就是函数定义“集合说”的构建.“集合说”并不是“全新”的理论，从某种程度上讲它其实是“变量说”的升级.“变量说”并非不正确，为了适应初中生认知水平，它在表述上强调“变量之间的依赖关系”，但无形中也给学生造成认知上的偏差，以为“函数是由x,y两个变量构成的解析式”.当面对“y=1是不是函数”“图像与表格能不能表示函数”时，学生无法根据“变量之间的依赖关系”作出准确判断.简而言之，“变量说”虽然“没错”，但对函数的本质属性还是凸显不够，从而桎梏了学生的思维视野.根据上面的分析，我们制定如下学习目标：

1)在具体的生活情境中感受世界的运动变化，会用运动变化的哲学观点看问题；能够用自己的语言表达对函数的理解，知道函数是刻画客观世界的重要模型.

2)经历对一些特殊函数实例的分析思考过程，发现初中阶段函数定义表述(变量说)的缺陷，感受完善函数定义的必要性.

3)经历数学抽象的思维过程，提炼“3种函数表示形式”的共性，联系集合观点，对初中阶段的函数定义进行完善与优化，并能在集合观点下表述函数的定义(集合说).

4)能够描述构成函数的三要素，联系生活实例，感受函数定义的合理性与科学性，充分理解函数本质.

学习目标一般由行为主体、行为动词、行为条件和行为标准这4个要素组成，即谁来学、学什么、如何学、学到怎样的程度.

2 设计评价任务，让学生知道是否学会

“学历案”关注的是学习目标的达成，评价任务遵循的是“逆向设计”的理念，即“学习目标—评价任务—学习过程”.“评价任务”的设计优先“学习过程”的好处是有助于教师厘清目标达成的“标准”、正确区分学习任务与评价任务，从而确保“学—教—评”的一致性与系统性[4].

本课的评价任务如下：

1)阅读材料，观看视频，回答思考1～3，完成探究1；

2)回答思考4，完成探究2，回答思考5～6；

3)完成探究3，回答思考7～14，完成练习1；

4)完成例题1，回答思考15～16,完成例2与练习2；

5)完成资料收集与学习报告的撰写.

与“教学任务与课后作业”相比，评价任务具有明确的指向性，体现的是引领教与学的功能.评价任务的设计是在尊重学生差异的基础上，通过设置多角度、多层次的任务来考查学生知识掌握的水平.

3 构建学习过程，让学生知道如何学会

“学历案”遵循的是“以学为中心”的理念，它呈现的是一个完整的自主学习过程，因此，学习过程的设计应立足学生的已有经验与思维逻辑，通过问题驱动的方式循序递进，层层深入，进而充分展示数学知识的发生、发展过程，让学生成为知识的主动建构者.

3.1 第一部分:永恒的变量

阅读材料：天地万物都在运动.“天上”太阳东升西落，月亮阴晴圆缺；群星闪耀，四季更替.“地上”火山喷发、地震海啸、洪水泥流……人类自身更是在变化，从婴儿到年老，从出生到死亡……

(教师播放相关视频.)

思考1举例说明“静止是相对的，运动是绝对的”哲学观点.

思考2举出生活中常见的变量与常量.

思考3如何刻画变量之间的关系？

探究1分别用正比例函数与反比例函数模型表示“暴利”与“薄利多销”两种经济现象.

意图在真实的情境中感悟运动，感悟变量，体会函数是刻画现实世界的重要模型.

3.2 第二部分:我心目中的函数

初中阶段的定义(变量说)：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.

思考4请举例说明函数应该具备怎样的特征？

意图很多学生可能会说“函数是关于x,y的表达式”“函数是曲线”……这样可以暴露学生的思维认知，有助于教师掌握学情，有的放矢.

3.3 第三部分:“变量说”的缺陷

探究2画出x=1与y=1的图像.

思考5对比函数的定义，x=1,y=1是函数吗？

思考6如何判定一个解析式是否为函数？

意图一方面揭示函数解析式与函数图像之间的关系，另一方面让学生发现“变量说”存在的不足之处.

3.4 第四部分:“集合说”的优势

探究3表2是印在鞋盒子上脚长与对应鞋子尺码的表格，观察其特征，回答下面问题：

表2 脚长与对应鞋子尺码

思考7它能表示函数吗？

思考8如何判定一个表格可以表示函数？

意图引发对函数形式的思考，掌握用“定义”判定函数的技巧.

再次阅读“变量说”，回答下面问题：

思考9“变量说”中哪句话能够反映函数的本质？

核心语句“x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”.

思考10指出“变量说”中引发函数认知偏差的干扰对象.

干扰对象两个变量x，y.

思考11指出“变量说”中能够进行拓展的关键词.

关键拓展词变化.

思考12如何优化已有函数定义的表述？

(保留核心语句—消除干扰对象—拓展关键词.)

思考13看到“变化”这个关键词，你会如何联想？

关键词的拓展过程“变化”的必然结果就是产生“范围”；“范围”某种程度上可以等同于“集合”；“两个变量”的变化范围就形成了“两个集合”；“变量对应”等价于“集合对应”.

思考14联系集合观点，请你对函数概念进行重新描述.

意图发现3种函数表示方法的共性；抓住“变量说”的关键词，建立与集合之间的联系，优化函数定义的表述.

练习1下列图像中，能表示函数的是

( )

A. B. C. D.

3.5 第五部分：函数概念的深化

例1已知M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},下列图形中能表示集合M到N的函数关系的是

( )

A. B. C. D.

思考15符合函数定义的对应关系应该具备什么条件？

思考16一次函数、反比例函数与二次函数的三要素分别是什么？

例2下列表示同一函数的是

( )

练习2已知函数f(x)=x2+1的定义域是{-1,0,1,2}，则值域为______．

意图体会函数对应的本质，揭示函数三要素的内涵，明确什么是函数.

3.6 第六部分：拓展性学习

查阅有关资料，以PPT或者学习报告的形式展现函数概念变迁的历程与数学家在促进函数概念走向完善的贡献.

学习过程的设计一般可以围绕着数学知识的获得、思想方法的形成、核心素养的发展这3个维度进行.采用“师留白，生留痕”的策略，将学习的主动权、创造权还给学生，从而使课堂充满灵性.

4 开展学后反思，让学生汲取学习经验

“学后反思”是学历案的重要组成部分，其内容包括：学习策略的梳理、自身问题的诊断、成果观点的分享、困惑疑问的求助等.学后反思一方面是学生自主学习的延续，另一方面有助于学生养成反思习惯，主动汲取学习经验，提高自身的元认知水平.

学后反思：什么是函数？函数是描述每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系.输入值构成的集合就是定义域，输出值构成的集合就是值域.函数的图像通常是一条优美的曲线.通过解析式就能判断函数图像的大致形状，比如，二次函数的二次项系数若为负数，图像开口向下，若是正数，图像开口向上；一次函数所经过的象限也能根据解析式中的系数去判断.可见函数图像与解析式之间关系密切，还有许多规律等待我们去探索.

“学后反思”也是师生对话的平台，有助于准确把握学情，增强师生情感，提升学生学习动力.但当前教育现实是很多学生根本没有反思的意识与习惯，因此明确“学后反思”的意义、指导学生高质量地撰写“教学反思”显得尤为迫切.

分析“学历案”的构成要素，它其实包含对为什么学、如何学、学什么、何时学、在哪里学、学得怎么样等学习环节的思考，而这些环节正是自主学习得以顺利进行的前提与保障.因此，称“学历案”为自主学习的“导航图”是再恰当也不过了.