浅谈高中立体几何解题

周根旺

[摘   要]立体几何解答题是历年高考必考的热点，对部分学生来说是一大难点，他们往往找不到解题的突破口.突破难点的关键是读好题.读题有明确的思维步骤，读题时可按照“初读[→]联想读题[→]结合问题读题[→]回顾”的步骤进行.

[关键词]立体几何;读题;解题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0023-01

立体几何抽象、逻辑性强，学生觉得难学不易掌握.其解答题更是学生的一大难点，学生往往找不到解题的突破口.对于立体几何问题，读题是解决问题的關键，读题需要有明确的思维步骤.

第一步，初读——数形结合.

阅读时全局把握，将信息在图中对应勾画，把数与形结合起来;明确题目中的面面、线面、线线之间的关系.重点留意图形中的面面垂直、线面垂直、线线平行、线面平行等关系;挖掘几何体中的隐含条件，弄清问题的类型;对照图形将已知条件回顾一遍，避免解题时将条件漏掉，导致问题无法解答.

第二步，联想读题——条件转化.

认真分析已知条件，展开联想，进行推理，将每一个条件细化和衍生.其实，就是对已知条件的再加工.有时，需先研究清楚空间几何体的某一个面.当题中某一个面中关系较多时，可将此面单独画出来，以便于充分利用图形提供的信息解决问题.有时，也可通过作截面将三维问题二维化.有的问题，条件是以图形的形式或将条件隐含在图形之中，审题时要善于观察图形，挖掘图形中所隐含的特殊关系.条件给出具体数据较多时，可以通过数值计算得出一些位置关系.

第三步，结合问题读题——寻找结论成立的充分条件.

从问题本身出发，联想常规解决模式，思考问题解决途径，寻找所需要的条件.把握已知与未知间的联系，并及时提取记忆中的有关信息，构思解决方案.如果这些条件题目中没有直接给出，可寻找与之接近的条件或结合第二步“联想读题”转化所得的条件.通常，第二步中对某一平面的研究会发现解决问题的许多条件，应加以重视.

第四步，回顾——查漏补缺.

解题后还需要回顾，观察已知条件有没有用到位、是否有疏漏，角度范围是否合理，求解过程与求解结果是否统一，解答过程是否规范.

[例题]（2016·天津卷）如图1所示，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=[6]，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点.

（1）求证：FG∥平面BED;

（2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

读题第二步：

①[四边形ABCD是平行四边形?]AB[∥]CD，BC[∥]AD;

②EF∥AB [?] EF∥面ABCD，EF∥CD;

[③           AB=2BC=AD=1∠BAD=60°?BD⊥AD               面AED⊥面ABCD][?BD⊥面AED?面BDE⊥面ADE;]

④由“G为BC的中点”通常会联想到“三线合一”“中位线”“直角三角形中线性质”.

读题第三步：

（1）求证FG∥平面BED联想常用方法：

①线面平行的判定，线线平行（在面BED中找一线与FG平行），通常寻找中位线或构造平行四边形.

②面面平行的性质定理，[过FG的一个平面]∥面BEG.

③定义，线面无交点（反证法）.

本题在面BED中寻找与线BD平行的线，根据前面的分析，取BD的 中点为O，抓住中位线.当然，有时也可让学生直观观察线的大体位置，形成直观感觉，再到线，然后加以证明.OG∥DC且OG=DC=1.又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG且EF=OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.

（2） 求直线EF与平面BED所成角的正弦值常用方法：

①作线面角：作（找）面的垂线，找斜线的射影，斜线与射影所成角即线面角.

②线面角不好作时，可计算斜线上一点到面的距离（即垂线段长度），通常可用等体积法、对称点法或平行线转化法.垂线段的长除以斜线段的长即为线面角的正弦值.

③平行线转化，两条平行线与同一平面所成角相等.本题EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角，即为直线AB与平面BED所成的角.过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.又平面BED ∩平面AED =ED，由（2）知平面BED⊥平面AED，所以AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.

通过以上读题，问题基本得到解决，部分学生如果在解题过程中被卡住，建议再次审题，从已知条件出发检查是否有信息漏掉.

（责任编辑 黄春香）