综合式消力池坎高与池深组合消能计算方法

(浙江省水利水电勘测设计院，杭州 310002)

1 研究背景

综合式消力池是底流消能的重要形式之一，适应于开挖太大、造价不经济或河床不宜大量开挖的情形。消力坎的作用是壅高坎前的水位形成消力池，其水力计算的主要任务是确定设计消力坎坎高，保障下游消能防冲安全。由于综合式消力池的消能计算传统计算方法十分复杂，特别是坎上淹没系数计算，其计算值是坎高、下游水深、跃后共轭水深之间的复杂函数，通常采用反复查表试算法，计算繁琐，效率低，不便于工程应用。

目前坎式消力池坎高的计算方法主要为试算法[1]，其试算初值选取及是否收敛具有较大盲目性，过程繁琐。黄朝煊等[2-5]对矩形断面消力池池深极值、梯形断面扩散型消能计算、多级消能水力计算进行了深入研究；文献[6]、文献[7]和文献[8]则介绍了一种在池深d=0时(即只有消力坎消能)消力坎坎高的试算法，通过对水闸规范[1]中的坎上淹没系数(即巴什基洛娃试验值)进行数值拟合，进而通过反复试算推求坎上淹没系数，但计算仍较繁琐，效率低，且坎上淹没系数的拟合精度受到很大的限制。

Bakhtyar等[9]采用智能算法如粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)以及遗传算法(Genetic Algorithm,GA)等对多级消力池水力参数进行了程序优化对比计算，但其原理与试算法基本一致。刘璐等[10]通过试验模型对消力池进行了研究，但不能得出通用性规律。

鉴于当前综合式消力池坎高计算十分繁琐且效率低的问题，本文通过数学分析理论，结合MatLab数值分析软件对考虑池深组合消能影响下综合式消力池坎高的计算进行深入研究。

2 综合式消力池消能计算基本理论

2.1 综合式消力池消能计算方程

综合式消力池消能计算基本方程为[1]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：c坎为坎高；σ0为水跃淹没系数，可取1.05～1.10；h′c为跃后水深(m)；H10为消力坎坎上水头(m)；q为单宽流量(m2/s)；g为重力加速度常数；d为组合消能中消力池池深(m)；m1为消力坎坎上的流量系数，与消力坎的形状及池内水力状态有关，依据规范可取0.42；σs为坎上淹没系数，与hs/H10有关，可按水闸规范[1]选取，其中hs=ht-c坎，ht为下游水深；hc为收缩断面水深(m)；α为收缩断面处水流动能校正系数，可取1.0～1.05；T0为以收缩断面底部为基准面的泄水建筑物上游总水头(m)；φ为流速系数，可取0.95。综合式消能计算简图如图1所示。

图1 综合式消能计算简图Fig.1 Calculation sketch for comprehensive energy dissipation

图2 坎上淹没系数σs与 hs/H10关系曲线Fig.2 Relation between submergence coefficient σs and hs/H10

关于坎上淹没系数，水闸规范[1]实际采用巴什基洛娃的淹没系数试验成果，淹没系数σs与淹没度hs/H10的关系如图2所示。根据规范，当hs/H10>0.45时，坎上流态为淹没出流，σs<1.0；当hs/H10≤0.45时，坎上流态为非淹没出流，σs=1.0。巴什基洛娃淹没系数和淹没度的关系是以表格形式给出的，无计算公式，不便于工程实际迭代试算。为了弥补不足，张志昌等[7]给出淹没系数计算公式为

(5)

崔起麟[8]给出的淹没系数计算公式为

(6)

通过计算验证对比分析，式(5)相对较简洁，并且式(5)最大相对误差基本<1%，满足工程实际应用需求，因此，本文建议采用式(5)，其关系曲线如图2所示。

由式(5)变换可得

(7)

由式(7)结合式(2)，消去参数H10得

由式(1)结合式(2)可得

(9)

结合式(8)、式(9)，消去c坎得

(10)

记式(10)等号右边无量纲参数为

(11)

则式(11)可变换为

(13)

由式(13)可知，在相关水力参数确定的情况下，可根据无量纲参数K计算坎上淹没系数σs。

根据大量工程水力计算经验可知，参数K满足关系式0

图3 坎上淹没系数σs与无 量纲参数K之间的关系曲线Fig.3 Relation between submergence coefficient σs and dimensionless parameter K

由图3可知，当无量纲参数K≥0.6时，坎上淹没系数σs≥0.999，工程实际计算中可取σs=1，即认为坎上流态为非淹没出流。当无量纲参数K<0.6时，根据MatLab软件高精度数值计算分析，给出由无量纲参数K直接计算坎上淹没系数σs的高精度解析计算式，即

σs=1.004-0.943exp(-9.02K) ，

K<0.6 。

(14)

无量纲参数K与坎上淹没系数σs的计算结果见表1。由表1数值对比分析可知，本文高精度计算式(式(14))的最大相对误差为0.405%，表明其计算精度完全满足工程实际应用要求。

表1 坎上淹没系数σs与无量纲参数K计算结果Table 1 Calculated result of submergence coefficient σs and dimensionless parameter K

2.2 消力池水跃参数的简化计算分析

(15)

式中Fr为弗劳德数。

由于跃前收缩水深hc满足三次方程，可以利用卡当公式解求解，即无量纲收缩水深为

(16)

根据数值分析理论，对消力池跃后水深h′c进行简化分析，利用MatLab软件数值分析得h′c高精度拟合式为

(17)

同样，可得水跃共轭水深比的高精度简洁计算式，即

η=h′c/hc=1.856 3×0.089 42λ×λ-0.270 38。(18)

相对跃后水深h′c/T0式(17)计算值与高精度数值解的关系见图4，式(17)、式(18)的相对误差均基本<0.3%，精度较高，完全满足计算工程计算要求。

00.050.100.150.200.250.300.20.30.40.50.60.70.8 hc/T0

图4 消力池相对跃后水深与无量纲参数λ的关系曲线
Fig.4 Relation between relative water depth afterhydraulic jump and dimensionless parameterλ

图6 不同相对消力池深d/T0下c坎/T0与λ，ht/h′c关系曲面Fig.6 Surfaces of c坎/T0 against λ and ht/h′c in the presence of different values of d/T0

3 综合式消力池坎高计算

对式(2)无量纲化，消力坎坎上水头无量纲计算式为

(19)

对式(1)无量纲化，消力坎坎高无量纲计算式为

消力坎坎上淹没系数σs由本文简洁计算式(式(14))直接给出；根据式(20)可知，由3个无量纲变量λ，ht/T0，d/T0可确定无量纲参数K值，进而根据式(14)确定坎上淹没系数σs，同时跃后相对水深h′c/T0可直接由无量纲参数λ给出，最后利用式(20)可计算相对坎高c坎/T0，其余参数为常数。

图5为本文简洁的无量纲化坎高直接解析计算流程，下游水深可采用黄朝煊等[11-12]的解析算法求解。

图5 无量纲值消力坎简化解析算法流程示意图Fig.5 Flowchart of the simplified dimensionless analytical solution

为了便于直观反映各变量之间的互相影响关系，依据本文简洁计算理论，通过MatLab编程数值计算分析，其中相对消力池深分别取d/T0=0，0.05，0.10，0.15共4组数据。通过数值分析计算，在不同相对消力池深d/T0下，相对消力坎坎高c坎/T0与λ，ht/h′c的关系曲面见图6。

通过对图6分析研究，可知在消力池与消力坎组合消能计算中，具有以下变化规律：

(1)消力池池深越大，消力坎坎高就越小，两者近似满足线性负相关关系，其原因主要为坎上淹没系数σs与无量纲参数K之间关系的影响，即当K≥0.6时，坎上淹没系数σs=1，为非淹没出流，此时，消力池池深与消力坎坎高满足线性负相关关系；当K<0.6时，坎上出流为淹没出流，此时受淹没系数σs<1的非线性影响，消力池池深与消力坎坎高呈现非线性影响关系。

(2)当d/T0=0时，无量纲参数在0.01<λ<0.06范围内，消力坎坎高c坎受λ变化的影响很小(即0.2030.8时，随着下游相对水深ht/h′c的增大，消力坎坎高逐渐减小，下游水深则起到水垫作用。

在工程实际运行中，下泄单宽流量是动态变化的，因此实际设计中可偏保守地取最不利单宽流量计算消力坎坎高，因此，最不利单宽流量下相对消力坎坎高最大值为cmax/T0=0.220 1。

(3)当d/T0=0.05时，无量纲参数在0.015<λ<0.07范围内，消力坎坎高c坎受λ变化影响很小(即0.16

(4)当d/T0=0.10和0.15时，由于消力池池深此时较大，消力坎坎高则明显减小。当d/T0=0.10时，最不利单宽流量下消力坎坎高最大值为cmax/T0=0.121。当d/T0=0.15时，最不利单宽流量下相对消力坎坎高最大值为cmax/T0=0.069。

4 算例计算

4.1 算例1

采用文献[5]中的算例，某隧洞出口接矩形消力池，为消力坎式消力池，即池深d=0，已知护坦面以上总水头T0=11.6 m，相应下游水深ht=3.5 m，设计护坦段单宽流量q=8.3 m3/(m·s)，其中出口至消力池的流速系数φ=0.95。试求：①根据下游水流衔接形式，判别是否设置消能设施；②如下游消能采用消力坎结构，试求消力坎的设计高度。

与文献[5]中先试算求出收缩水深hc，再求跃后水深的繁琐算法相比，本文算法更直接快捷，且跃后水深计算结果与文献[5]中给出的4.573 m基本一致，相对误差仅为0.14%。

由于h′c>ht=3.5 m，所以需要修建消力池。

(2)计算淹没系数。根据本文理论，无量纲参数K计算式为

根据式(14)可直接计算坎上淹没系数为

σs=1.004-0.943exp(-9.02K) =1.004-

0.943exp(-9.02×0.536 5)=0.996 5 。

即坎上淹没系数σs=0.996 5，与文献[5]中繁琐的试算法给出的淹没系数σs=0.996 5完全一致。

(3)计算消力坎高度。先计算相对消力坎坎高

与文献[5]中计算值2.237 m基本一致，可见本文理论计算精度完全可靠，且计算快捷方便，无需繁琐的反复试算。

值得说明的是，在d/T0=0时，依据本文对不同单宽流量参数λ、不同下游水深ht等各种工况下MatLab软件计算曲面图可知，cmax=(c坎/T0)maxT0=0.2201×11.6 m=2.553 m,大于本文在特定工况下的坎高计算值2.237 m，说明本文数值计算理论合理可靠；因此在实际工程设计中可无需进行各工况下的详细计算，可以偏保守地取设计消力坎坎高最大值2.553 m作为工程实际设计值。

4.2 算例2

以文献[13]《水力学》(下册)中算例为例，某溢流坝在单宽流量q=6.0 m2/s时，已知坝址收缩断面水深及其共轭水深分别为hc=0.42 m，h′c=3.96 m，若下游水深ht=3.5 m，试设计其坎式消力池消力坎坎高，其中坎上流量系数m=0.42。

由于相对池深d/T0=0，根据式(12)可知

根据式(14)可直接计算坎上淹没系数为

σs=1.004-0.943exp(-9.02K)=

1.004-0.943exp(-9.02×0.350)=0.963 。

即坎上淹没系数σs=0.963，文献[5]中繁琐的试算法(坎上淹没系数采用直线内插法)给出的淹没系数σs=0.956，由于本文坎上淹没系数σs为光滑曲线拟合给出，因此计算结果稍有差异，但误差仅为0.82%，完全满足工程实际应用要求。

最后根据基本方程(1)和(2)给出消力坎高为

即消力坎坎高c坎=2.07 m，与文献[12]中试算法成果2.02 m基本一致，误差主要是坎上淹没系数稍有0.82%的相对误差导致的。因此，本文算法精度可靠、方便快捷，且便于工程应用。

5 结论与建议

现有底流消能计算中综合式消力池坎高与池深组合计算的传统试算法十分繁琐，特别是坎上淹没系数计算为跃后共轭水深、下游水深、坎高、消力池深等多个变量的复杂非线性函数，通常采用盲目性试算法求解，费神耗时，效率低。因此，本文根据水力学理论和数学推导，结合MatLab软件数值分析，对综合式消力池坎高计算进行深入研究，主要结论如下：

(1)本文通过无量纲原理、数学推导及MatLab软件数值分析，巧妙地给出了坎上淹没系数简洁的高精度解析计算式，绘制了坎上淹没系数随无量纲参数K之间的关系图，通过对比分析表明该解析计算式最大相对误差仅0.405%，便于工程应用。

(2)通过无量纲原理，给出跃后共轭水深随无量纲单宽流量参数λ的高精度解析计算式, 其相对误差<0.3%。在考虑消力池深与消力坎的组合消能作用下，给出简洁的无量纲消力坎坎高的解析计算式，并绘制简洁的无量纲化坎高直接解析计算流程图。

(3)通过MatLab软件给出了无量纲坎高随无量纲单宽流量λ、下游水深以及消力池池深之间的曲面关系图，便于工程实际查算应用。通过数值分析研究，认为消力池池深、消力坎坎高两者近似满足线性负相关关系，且该关系主要受坎上淹没系数σs与无量纲参数K关系的影响。

(4)通过2个工程算例计算对比分析，认为本文简洁算法精度高且方便快捷。值得说明的是，工程实际运行中下泄单宽流量是动态变化的，因此实际设计中可偏保守地取消力坎坎高最大值作为实际设计值。