高中数学解题教学中分类讨论思想的培养

韩立香

【摘 要】分类讨论思想是一种重要的辩证思想，在促进学生发散思维能力，提升学生解题能力方面具有重要的作用。本文立足于高中数学解题教学，就如何促使高中生形成良好的分类讨论思想进行了深入探讨。

【关键词】高中数学;分类讨论思想;培养对策

【中图分类号】G633.6       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）22-0216-01

数学解题教学作为高中数学教学的重要组成部分，旨在锻炼学生的思维能力，提升他们的数学解题能力。分类讨论思想是一种重要的数学思想，在优化学生解题思路，提高学生解题质量与效率，促使学生数学核心素养形成方面具有重要的作用，强化分类讨论思想培养理念在课堂教学中的渗透显得尤为重要。

一、分类讨论思想在高中数学解题教学中培养的意义

分类讨论思想本质上是一种重要的数学思想，核心要素表现在“分类”与“讨论”上，具体就是首先通过对某一问题中可能出现的各种情况进行分类处理，然后再针对不同范围与条件下的问题进行深入讨论，以此确保问题求解的全面性。在高中数学解题教学过程中，通过为学生传授分类讨论思想，引导他们树立分类处理意识、讨论意识和整合处理意识，有利于优化学生解题思路，降低学生求解数学问题的难度，提高问题求解的精确度与效率。因此，为了有效地提升高中生的解题能力，教师要善于结合某些具体的数学问题，帮助学生掌握分类讨论思想，力求以此不断地提升学生的解题能力。

二、分类讨论思想在高中数学解题教学中培养的对策

1.应用于求解函数问题。

函数问题是高中数学教学中最为常见的一类数学问题，相关的题目类型众多，并且其中有很多的数学题目本身的不确定性比较明显，如许多数学题目问题中包含有比较多的参数变量，无法准确确定其取值，这时候最终函数的结果也会因为参数变量的改变而相应地发生改变，这就为分类讨论思想的应用提供了一个良好的应用条件。因此，在引导学生求解数学函数问题的过程中，教师可以有效地结合函数分类讨论方面的一些理论与思想，依据有关的函数的特征，对函数中涉及到的参数变量进行分类讨论，力求可以全面、深入地剖析某个研究对象，这样可以显著提升数学问题求解的精确性。

例1：已知函数f（a）=a10-a5+a2-a+1，试求f（a）>0条件下参数a的取值范围？

解析：在本道数学问题中，函数f（a）本身涉及到多个多项式，它们的底数相同。而指数函数本身具有很强的单调性特性，且单调性情况与底数值的大小情况具有紧密联系，所以为了更好地解决该道数学问题，就必须要针对底值的大小情况进行分类讨论，无法直接得出最终结论。

解：（1）当a<0时，其偶次幂为正数，奇次幂为负数，所以可知f（a）=≥1，故符合题干要求;

（2）当a=0或a=1时，f（a）=1>0，故符合题干要求;

（3）当a>1时，可知a10>a5，a5>a2，所以可知f（a）>1，故符合题干要求;

（4）当00。

综上所述，在本道题中对任意参数a的取值，都满足f（a）>0条件。

2.应用于求解概率问题。

概率问题也是一道典型的高中数学问题，是高中数学考试的必考内容。由于概率问题本身涉及到比较大的不确定性，所以在相关问题的求解中也可以通过分类讨论思想确保概率问题求解的质量。在求解该概率问题的时候，教师可以指导学生结合题干信息以及相关要求，对相关的数学问题首先进行分类处理，之后再针对不同类别的问题进行相应求解，以此确保问题求解的质量和效率。首先，要确定概率问题的概率类型，对题目信息中给定条件的各个数进行逐个编号，结合研究问题中对象的可能值，利用分类讨论思想去明确不同讨论状态下的问题求解结果，最终提升问题求解能力。

例2：在某个国家举办奥运火会的时候，该国举办了火炬传递活动，其中18位火炬传递手的编号依次为1，2，3……18，试求从其中任选3人后能够构成以公差为3等差数列的概率？

解析：该道数学概率题是一道古典概率型问题，其中总数C=17×16×3。为了准确地确定该道数学问题中满足等差数列的各种结果，避免出现遗漏某一种情况，教师可以引导学生采取分类讨论的方式，假定构成的等差数列an=a1+3（n-1）。然后分别探讨a1=1，2，3情况下可能存在的各种可能性结果。

解：当a1=1时，火炬手选择的结果主要可以从1，4，7，10，13和16中选择，总计可以有4种构成法（1，4，7;4，7，10;7，10，13;10，13，16）。同理，当a1=2时，火炬手选择的结果可以从2，5，8，11，14和17这几个编号中选择，总计有4种可能的结果;当a1=3时，火炬手选择的结果可以从3，6，9，12，15，18这几个编号中选择，总计有4种可能的结果。如此一来，可知最终的概率P=（4+4+4）/C=1/68。

3.应用于求解数列问题。

数列问题也是高中数学解题中比较重要的一类数学问题，由于这部分数学知识的抽象性比较强，学习难度比较大，使得许多高中生在面对的时候常常挠头，不知道如何下手。特别是在涉及到数列周期性等方面问题时，非常适宜采取分类讨论思想，这样可以有效地提升数列问题求解的质量和效率。比如，针对没有给出公比q具体值的等比数列问题，需要注意考虑q=1和q≠1等情况，力求确保问题求解的全面性，这样才能有效地提升数列问题求解的质量。

例3：已知等比数列{an}，其中a1=1，前n项和为Sn，且ak+1，ak+2，ak+3构成等差数列（k∈N），试求：（1）试求数列{an}的公比q;（2）试求Sk+1，Sk+2，Sk+3是否构成等差数列？（k∈N），理由呢？

解析：为了求解该道数列问题，需要先明确数列的公比q，这点可以从数列概念加以提出，而后可以借助前n项和对Sk+1，Sk+2，Sk+3是否为等差数列进行仔细地判定。通过分类讨论，最终可以便捷地求解出最终的答案。

解：（1）由于数列中的ak+1，ak+2，ak+3构成等差数列，所以可知：ak+1=qk，ak+2=qk+1，ak+3=qk+2三者构成等差数列，此时可以求得q=1或q=-1/2。

（2）当q=1时，Sk+1=k+1，Sk+2=k+2，Sk+3=k+3，此时Sk+1，Sk+2，Sk+3无法构成等差数列;当q=-1/2的时候，Sk+1=2/3（1-（-1/2）k+1），Sk+2=2/3（1-（-1/2）k+2），Sk+3=2/3（1-（-1/2）k+3），经计算可知：2 Sk+2= Sk+1+ Sk3，所以此时Sk+1，Sk+2，Sk+3为等差数列。

综上所述，分类讨论思想是求解数学问题中一种重要的数学思想，在简化数学问题，提高学生解题准确度方面的作用非常显著。因此，在平时的数学解题教学中，教师可以结合具体例题，将分类讨论思想在数列、函数以及概率等问题求解中的应用方法传授给学生，力求有效提升学生的解题能力。

参考文献

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[2]冯尊.分类讨论思想在高中数学解题中的应用解析[J].新教育时代（教师版），2017，（13）：90-91.

[3]付博文.关于高中数学解题中分类讨论思想的应用探究[J].中学数理化，2018，（11）：93-94.