《递推数列》六类经典题型突破方法

■河南省平舆县第一高级中学 何中义

类型一：an+1=an+f(n)

突破方法：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1在数列{an}中，a1=-1，an+1=an+2n，求an。

解析：因为an+1=an+2n，当n≥2时：

将上面n-1个式子相加得到：

an-a1=2×[1+2+3+…+(n-1)]=

所以an=a1+n2-n=n2-n-1(n≥2)。

当n=1时，a1=-1=12-1-1，符合上式，故an=n2-n-1(n∈N*)。

总结升华：

1.在数列{an}中，an+1-an=f(n)，若f(n)为常数，则数列{an}是等差数列；若f(n)不是一个常数，而是关于n的式子，则数列{an}不是等差数列。

2.当数列的递推公式是形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+…+f(n)的和是可求的时候，则可用多式累(迭)加法求得an。

类型二：an+1=p an+q（其中p，q均为常数，p q(p-1)≠0）

突破方法：把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t)，其中，再利用换元法转化为等比数列进行求解。

例2已知数列{an}中，a1=1，an+1=，求a。n

解法一：设，解得A=-3，所以原式可转化为an+1-3=

设bn=an-3，则数列{bn}为等比数列，且

解法二：因为

设bn=an+1-an，则数列{bn}为等比数列。

所以

解法三：

总结升华：

1.一般地，对已知数列{an}的项满足a1=a，an+1=c an+d(c，d为常数，c≠0，1)，则可设an+1+t=c(an+t)，得an+1=c an+c t-t，利用已知得c t-t=d，即，从而将求数列{an}的通项转化为求等比数列{an-t}的通项。第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列。这两种方法均是常用的方法。

2.若数列有形如an+1=k·an+b(k、b为常数)的线性递推关系，则可用待定系数法求得an。

类型三：递推公式为an+2=p an+1+q an（其中p，q均为常数）

突破方法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an+2-s an+1=t(an+1-s an)，其中s，t满足

突破方法二(特征根法)：对于由递推公式an+2=p an+1+q an，a1=α，a2=β给出的数列{an}，方程x2-p x-q=0叫作数列{an}的特征方程。若x1，x2是特征方程的两个根，当x1≠x2时，数列{an}的通项为an=，其中A，B由a1=α，a2=β决定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=，得到关于A、B的方程组)；当x1=x2时，数列{an}的通项为an=(A+B n)·，其中A，B由a1=α，a2=β决定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=(A+B n)·，得到关于A、B的方程组)。

例3已知数列{an}中，a1=1，a2=2，，求a。n

解析：由可转化为，即an+2=(s+t)·或

n+1应用突破方法1，分别令n=1，2，3，…，(n-1)，代入上式得到(n-1)个等式，然后累加，可得又因为，所以

类型四：递推公式为Sn与an的关系式（或Sn=f(an)）

突破方法：这种类型一般利用an=

例4已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1，2，3，…)，a1=1。

(1)设bn=an+1-2an(n=1，2，3，…)，求证：数列{bn}是等比数列；

(3)求数列{an}的通项公式及前n项和。

解析：(1)因为Sn+1=4an+2，所以Sn+2=4an+1+2，以上两式的等号两边分别相减，得Sn+2-Sn+1=(4an+1+2)-(4an+2)=4an+1-4an(n=1，2，3，…)。

所以an+2=4an+1-4an，变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)。

因为bn=an+1-2an(n=1，2，3，…)，所以bn+1=2bn。

由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列。

因为S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，所以a2=5，所以b1=a2-2a1=3，所以bn=3·2n-1。

将bn=3·2n-1代入得

由此可知，数列{cn}是公差为的等差数列，首项为

当n≥2时，Sn+1=4an+2=(3n-1)·2n+2，所以Sn=[3(n-1)-1]·2n-1+2=(3n-4)·2n-1+2。

当n=1时，S1=a1=1也适合此公式。

故所求数列{an}的前n项和公式是Sn=(3n-4)·2n-1+2。

总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，利用等差、等比数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略。

类型五：an+1=p an+a n+b（p≠1，0，a≠0）

突破方法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an+1+x(n+1)+y=p(an+x n+y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an+x n+y}是公比为p的等比数列。

例5设数列{an}满足：a1=4，an=3an-1+2n-1(n≥2)，求an。

解析：设bn=an+A n+B，则an=bn-A n-B，将an，an-1代入递推式，得bn-A n

所以取bn=an+n+1，则bn=3bn-1，又b1=6，故bn=6×3n-1=2×3n，代入得an=

总结升华：(1)若f(n)为n的二次式，则可设bn=an+A n2+B n+C；(2)本题也可由an=3an-1+2n-1，an-1=3an-2+2(n-1)-1(n≥3)两式相减得an-an-1=3(an-1-an-2)+2，转化为bn+2=p bn+1+q bn求之。

类型六：倒数法求通项公式

突破方法：形如递推式，考虑倒数关系有，则{b}可转化为nan+1=p an+q型。

例6数列{an}中，a1=3，an-an+1=5an·an+1(n∈N*)，求an。

思路点拨：对an-an+1=5an·an+1两边同除以an·an+1，得即可。

解析：因为an-an+1=5an·an+1，等号两边同除以，得

总结升华：

1.两边同时除以an·an+1可使等式左边出现关于an和an+1的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列{an}的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求{an}的通项。

2.若数列有形如f(an，an-1，anan-1)=0的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得an。