切换数学语言，彰显建模价值

袁红

【摘  要】数学语言的转换就是在解决数学问题的过程中，不改变数学课程的基本属性，通过信息形态的转变，着力将需要解决的问题以数学的方式转化，最终达成从繁琐到简单、从未知到已知、从陌生到熟悉的境界。如果学生在建模的过程中能够精确且灵活地运用数学语言分析问题、解决问题，对于思维的深入化就有了更加深刻的体认。本文提出要激活思维，在模型储备中强化数学语言切换;验证假设，在模型建构中强化数学语言切换;解决问题，在模型应用中强化数学语言切换;拓展训练，在模型延伸中强化数学语言切换。

【关键词】激活思维    验证假设    解决问题    拓展训练

数学建模是数学课程的核心能力，主要包含了数学模型的储备、形成、应用和拓展等过程。数学语言的转换就是在解决数学问题的过程中，不改变数学课程的基本属性，通过信息形态的转变，着力将需要解决的问题以数学的方式转化，最终达成从烦琐到简单、从未知到已知、从陌生到熟悉的境界。如果学生在建模的过程中能够精确且灵活地运用数学语言分析问题、解决问题，对于思维的深入化就有了更加深刻的体认。否则，学生对于数学问题将难以阅读与理解，更无法进行思考与表达，核心素养自然也就谈不上了。因此，教师要在建模的过程中引导学生灵活地运用数学语言，在实践过程中促进学生数学核心素养不断发展。

一、激活思维，在模型储备中强化数学语言切换

在模型储备阶段，教师要根据教学内容和目标的设定，创设适切的教学情境，让学生以专业性的数学视角提炼出其中所蕴藏的数学问题，在数学情境之中激活学生内在的知识和活动经验，从而迅速输入认知信息并灵活地转化成为数学语言，这就形成了相对明确的模型方向，为数学模型素养的建构奠定了基础。

例如，教学钉子板上的多边形时，两个相邻之间的钉子为1厘米的距离，使用一根橡皮筋在钉子上任意围绕一个多边形，组织学生说说这个多边形面积，学生们的方法各不相同，有的开始数橡皮筋所圈定的方格数，有的尝试将圈定的不规则图形拆解成两个或者两个以上的规则图形，但有的学生却不知所措，在教师直接给出答案之后，好一会才认识到教师答案的合理性。随后，教师再次与学生用点阵图进行比赛，学生只要画出一个多边形，教师就轻松地说出答案。事实上，教师运用了著名的皮克定理——即点阵中顶点在格点的多边形面积计算模型。教师及时创设了比赛的情境，激发了学生内在的探究性欲望，其实数格子或借助其他方式计算多边形面积，就是在解读图形语言，并逐步将其转化为符号化语言的过程。在这一过程中，学生先将实物所展示的图形转化为点阵图，然后在演化成为符号性语言。其中，拆解分割的方式相对较慢，而且一部分小面积图形不规则不能精确计算，因此探寻数学性语言并及时转换方向，就成为了当时情境下学生思维内在的迫切需求。

在这一过程中，教师所利用的比赛情境激发了学生数学语言的转换动力，不但让他们首次感性认知了皮克定理，更激活了他们内在原始的认识经验和活动经验，为后续数学语言的巧妙转换奠定了基础。

二、验证假设，在模型建构中强化数学语言切换

数学模型的储备阶段是假设和验证的阶段：假设就是在原始性经验基础上大胆地提出自己的猜测或者设想;而验证则是对自己或者他人提出的设想，通过举例或者实验等方式对其正确程度进行评判的过程。学生的思维历程就是要在验证的过程中演化成为模型。这一过程中数学性语言的切换就能够有效地帮助学生在假设或者验证的过程中进行正确的说理或者判断。为此，教师就需要引领学生通过实验操作、抽象概括等方式，经历铸造数学模型“再创造”的过程。

例如，教学平行四边形面积之前，教师出示一个底边、斜邊和高分别为5厘米、4厘米和3厘米的平行四边形，让学生猜测它的面积，学生的答案不一而足，有的用5×4，有的用5×3，有的用4×3……教师则组织学生用面积为1平方厘米的小方块在这个平行四边形中按序摆放，他们发现摆放20次就超出了面积，因此5×4的假设顺势被否定;而摆放12次，就不能铺满平行四边形，因此4×3的假设也是不正确的。那剩下的15个正方形是否正确呢？此时学生的兴趣高涨，收集了15个正方形并形成了面积相等的结论。在这一摆放的过程中，学生就有了全新的发现，平行四边形是可以转化为长方形的，从而根据长方形和平行四边形的对应关系，推理出平行四边形的面积公式，进而形成了面积模型。

在假设过程中，学生将原本的图形语言转化为符号语言;验证时，则通过观察含有面积单位个数的方式将原本的图形语言转化为了新的图形语言，自然地否定两种假设结论。随后，学生利用自己在操作实践过程中的发现，将平行四边形转化为长方形，更是一种典型图形语言之间的相互切换……这样的过程中，学生的数学语言不断置换，最终将平行四边形的面积计算共识铸造成为固定的模型，建模素养也得到了有效地训练。

三、解决问题，在模型应用中强化数学语言切换

数学学习的价值不在于知识的积累，而在于问题的解决，数学建模的意义就在于运用这种模型来解决数学问题，并相机发现全新的问题，在再思考、再解决的过程中获取新知，甚至于可以自主性地构建出全新的模型结构，学生所获取的就不再是纯粹的知识积累，同时还得到了内在能力的训练。

例如，帮助学生构建了梯形面积模型之后，教师为了达成巩固的目的设置了这样的题型：一块梯形空地，上底为40米，下底为80米，高为50米。在这块空地上每种上一棵青菜，需要占据2平方分米的面积，那这块空地可以栽种多少棵青菜？这就是一道典型的运用模型解决问题的应用题，题目中文字语言清晰地描述了生活中遇到的问题，在阅读的过程中学生就需要将文字问题转化为数学语言，并借助于梯形的面积公式，通过模型结构下的符号语言计算这块梯形空地的面积，并根据每棵青菜的占地面积，最终得出可以栽种的青菜棵数。尤其要点出的是，这道题中教师并没有简单地让学生利用模型来计算梯形的面积，而是借助栽种青菜的情境，让梯形的面积模型有了解决问题的原始储备，使得模型成为了解决实际问题的有效推手。

从中可以看出，数学模型绝不是割裂而零散的，而是彼此关联的，甚至是可以转化和运用的。正是在这种运用的过程中，梯形的面积模型有了更加深远的意义，使得这一知识内容更加系统化、结构化地贮存在学生的“经验仓库”中。教师所设置的有层级的训练对不同类别的数学语言进行了多种形式的转化，学生的建模素养也在这样的过程中得到了有效的历练。

四、拓展训练，在模型延伸中强化数学语言切换

所谓模型延伸就是在已经建构的模型中进行适度地改变和推进，从而能够衍生出更加完善或者全新的模型。在学生初步建模之后，教师可以利用一些拓展性训练，对原本的模型进行重塑，这不仅可以推动学生對已有模型的理解，而且能够扩展学生的数学视野，从不同角度来理解并掌握数学的基本模型，进一步培养数学语言的转换能力。

例如，学习间隔排列时，学生在简单的实践运用之后就得出了这样的数学模型：“两种物体排成一行，两端物体相同时，两端物体个数-中间物体个数=1”，随后教师出示了这样两道延伸题：（1）晓军将圆形和正方形一个个地排列成一行。如果圆形有5个，那正方形最多有几个，最少有几个;（2）圆形的花圃周围一共栽种柳树75棵，如果每隔两棵柳树就栽种一棵梧桐树，可以栽种多少棵梧桐？第一个问题的解决，学生在初步构建出来的模型下，能够形成一条直线上物体间隔排列的基本图式，这是他们在灵活性运用原有模型的基础上形成全新模型的过程，需要将文字语言转化为图形语言，随后再裂变成为文字语言;而第二个问题，学生需要封闭图形，用文字进行描述，然后再将语义转化成为图形语言，这一倾吐与内化的过程中，也正是在数学语言转换的过程中形成全新模型的过程。

从这一案例中就可以看出，学生运用原始性的模型解决问题的过程不仅是运用模型的过程，更是扩展并重塑模型的过程，能够从更高的层面中审视自己原始的模型结构，有效地促进了数学语言转换和建模素养的不断提升。

在数学建模的过程中能够有效地对数学语言进行加工、转换，不仅可以充分地感受到数学模型思想和模型建构的价值意义，同时也为数学语言之间的切换提供了平台，真正为学生数学核心能力的发展奠定基础。

参考文献：

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