Ivancevic 期权模型的新的周期波解

2019-11-06 03:11
数据与计算发展前沿 2019年3期
关键词:孤子薛定谔雅克

五原县第一中学,内蒙古自治区巴彦淖尔市 015100

引言

根据现代市场运行规律,Ivancevic 在文献[1],[2]中提出了一个新的适应性非线性薛定谔方程,也称为Ivancevic 期权模型(the Ivancvic option price model):

其中i为虚数单位,s为股票价格,t为时间变量,φ(s,t)为期权波函数,σ,β均为由市场自身决定的常数.在物理学领域,方程(1)是(1+1)维非线性薛定谔方程,在很多物理领域都有重要应用.

1 Ivancevic 期权模型的行波约化

如果β=0,则方程(1)退化为线性薛定谔方程.在这里我们考虑β≠0的情形.对于方程(1),

方程(1)化为如下的二阶三次非线性自治常微分方程

在文献1中,Ivancevic 得到了如下的雅克比椭圆函数解:

当0≤m<1

m=1:

其中,sn,cn为雅克比椭圆函数,m为雅克比椭圆模.解φ1,φ2为通解,解φ3为暗孤子解,φ4为亮孤子解 [1]。这些解应该在某种程度上可以解释期权波函数φ(s,t)的变化规律。

本文将在文献1的基础上,利用复方法,通过求解获得方程(1)的新周期波解.

2 利用复方法求方程(1)的周期波解

复方法是 Yuan 等 [4]提出的一种新型的求自治非线性复常微分方程的方法,具有简便高效系统的特点,下面我们利用该方法求解方程(2)的周期波解.

为了应用该方法,我们先给出如下概念和引理.记函数集合W={椭圆函数,有理函数,的有理函数}。

考虑如下的常微分方程

其中n∈N,b≠0,c是常数.

假设亚纯函数w为方程(3)的具有极点的解.如果把洛朗级数代入方程(3),通过平衡各同类项系数,能依次确定p组系数即能确定如下的p个洛朗级数主要部分那么

我们称方程(3)满足弱 <p,q>条件.

引理[4]考虑如下的复域常微分方程

如果p,l,m,n∈N,degP(w,w',Lw(m))<n,

且方程满足弱 <p,q>条件,那么它的所有非常数亚纯函数解w∈W,且必为下面三种形式之一:

(I)w:=R(z)是具有l(≤p)个不同的q重极点,形如

的有理函数.

(II)w:=R(ξ),ξ=eαz(α∈C),其中R(ξ)是具有l(≤p)个不同的q重极点,形如

(III)w是在基本周期格内具有l(≤p)个不同的q重极点的双周期2ω1和2ω2椭圆函数,形如

其中℘(z)=℘(z,g2,g3)是维尔斯特拉斯椭圆函数,g2,g3分别是维尔斯特拉斯椭圆函数不变量,留数之和

3 方程(2)的求解

2.1 有理函数解

根据(4)式,我们得到方程的有理解为C:

2.2 单周期函数解

根据(5)式,我们可以得到方程的单周期函数解为:

2.3 双周期函数解

因为留数之和等于零,因此方程(2)具有双周期函数解.根据(5)式,我们得到方程的待定双周期函数解为:将此待定解代入原方程(4),可以得到方程的双周期函数解为:

4 方程(1)的求解

根据第3 节中所给出的方程(2)的解,以及采用的变换变换

我们立刻得到方程(1)的如下的周期波解:

(3)

3 结语

本文求出的双周期波解、有理函数解和单周期波解相对于文献1-3是新的解,从数学角度讲,有理函数解是怪波解,即当s-σkt→z0时φ→∞。在一定的条件下,方程存在单周期波解和双周期波解,这些解是否能在期权市场中得到验证仍旧有待研究人员去探索,本文旨在进行数学上的探究。

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