基于PSWF窗的线性相位FIR-BSF设计

赛 雷，李 吉，徐 鹏

(海军航空大学，山东 烟台 264001)

0 引言

随着信息时代数据流量的剧增，如何设计更加高效的数字滤波器是提升信号处理效率的核心问题。相比于无限脉冲响应(IIR)数字滤波器，FIR数字滤波器能够在没有相位校正网络的情况下更加容易地实现线性相位特性，因此，其具有更强的结构稳定性和设计灵活性。同时，由于无线频谱资源的日益紧张与“绿色通信”的需求越发迫切，寻求频谱效率和能量效率更高的窗函数以提升滤波器性能势在必行。在采用窗口设计法设计FIR数字滤波器时，滤波器性能的好坏在很大程度上取决于是否选择了合适的窗函数。目前主流的窗函数有：矩形窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗及Kaiser窗等。然而，窗函数的选择完全可以不局限于上述主流方案。实际进行FIR数字滤波器设计时，具有时间带宽积可控性以及最佳时频能量聚集性等诸多优良特性的PSWF[1]也可以作为窗函数的选择之一。

PSWF近年来在信息科学领域得到了广泛的应用[2-6]，而围绕“利用PSWF来设计FIR数字滤波器”这一思路，相关专家学者已经展开了诸多卓有成效的研究：1970年，Tufts D等人[7]首次提出了基于PSWF的数字低通滤波器(LPF)设计思路，他们将该思路与最小均方误差(LMSE)设计法进行对比，认为利用PSWF设计的LPF在旁瓣衰减速度和旁瓣峰值等方面具有一定的优势；1978年，Slepian D等人[8]在分析离散椭圆球面序列(DPSS)的信息传输应用场景时，提出了基于DPSS的FIR数字LPF设计方案；1985年，Mathews J等人[9]从数学角度阐述了基于DPSS的FIR数字滤波器设计思路，认为基于DPSS的数字滤波器可以有效减轻通带波动现象(通带波纹更小)，进而实现滤波器整体性能的提升；2016年，刘晓等人[10]提出了基于PSWF的数字带通滤波器(BPF)设计方案，并将该方案与基于Blackman窗和Kaiser窗的设计方案进行了对比，认为基于PSWF的BPF能够呈现出更好的旁瓣衰减特性。

一方面，随着近年来各种PSWF求解方法的提出，各种参数条件下PSWF的求解逐渐趋于精确化、高效化，这为采用PSWF窗设计FIR数字滤波器提供了更为便利的技术条件；另一方面，采用PSWF来设计FIR数字滤波器与“绿色通信”的需求更加贴合。因此，本文采用运算复杂度较低、操作灵活简便的显式求解方案[11]来产生PSWF脉冲信号，并将其作为窗函数来实现线性相位FIR-BSF的设计。

1 第0阶PSWF窗

1.1 窗函数的求解

PSWF定义：对于任意时间带宽积因子c，必然存在一组有限的实数χ0<χ1<χ2...满足如下方程：

(1)

PSWF的传统求解方法大致有3种：勒让德多项式逼近法[12]、重构算法[13]和核函数矩阵数值解法[14]。这些方法由于引入角度的不同，各自呈现的优势也不同。随着工程实践的发展，上述传统方法均表现出不同程度的局限性(如，勒让德多项式逼近法和重构算法的求解效率不高，而核函数矩阵数值解法的求解精度不高)。因此，本文采用由Hermite函数逼近法得到的显式渐近表达式[11]来获得第0阶PSWF。

具体表达式如下[11]：

(2)

由此可见，在m=0且c给定的情况下，将c,m两变量的值代入式(2)即可获得所需的第0阶PSWF。由于此处只需要求解第0阶PSWF，因此，采用显式求解方案可避免传统方法中求解矩阵特征值、特征向量等复杂运算，能够在保证精度的同时，大幅提升运算效率。同时，从数学角度来讲，采用Hermite函数逼近PSWF能够保证其时域奇偶对称特性不受破坏，有利于实现FIR数字滤波器的线性相位特性。

1.2 与其他主流窗函数的性能对比分析

最初，PSWF的提出归功于Shannon在1959年参观Bell实验室时提出的一个问题：“一个函数在多大程度上它的频谱限制在有限带宽而同时又在时域上集中分布？”Bell实验室的Slepian D等人[1,8]以此问题为研究动力，最终于1961年从数学角度证明了PSWF是解决时限与带限之间矛盾的最佳信号形式，即PSWF具有最佳的时频能量聚集性。实际上，同时间带宽积PSWF的能量聚集度(主瓣内能量与总能量的比值)随阶数的增加而逐渐下降。因此，为了实现更高的能量效率与频谱效率，应当选取第0阶PSWF作为滤波器窗函数。

引言已指出，采用窗口法设计FIR数字滤波器时，常用的窗函数有：矩形窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗及Kaiser窗等。但是，由于矩形窗、Bartlett窗以及Hanning窗可提供的最小阻带衰减不足50 dB(性能较差)，因此在本节，对可提供的最小阻带衰减超过50 dB的Hamming窗、Blackman窗和Kaiser窗3种窗函数与第0阶PSWF窗进行对比分析。

首先，将4种窗函数的窗口长度M均固定为51个；其次，为了便于对比，将目标阻带衰减As暂定为88 dB，根据经验式c/π=0.038 1As+0.316[15]，将第0阶PSWF窗的时间带宽积因子c设置为3.668 8π；根据经验式β=0.110 2(As-8.7)，将Kaiser窗的椭圆参数β设置为8.738 9；最后，将M为51且c为3.668 8π的第0阶PSWF窗、M为51且β为8.738 9的Kaiser窗、M为51的Blackman窗、M为51的Hamming窗，四者的时频域对比图像绘制如图1和图2所示。

图1 4种窗函数的时域波形对比图

由图1可知，从时域波形来看，在窗口长度一致、c和β对应的约束条件下：第0阶PSWF窗、Kaiser窗和Blackman窗的时域波形较为接近，它们三者在采样的起始处与结束处的幅值均比Hamming窗更快接近于0，换言之，三者的截断效果均优于Hamming窗；另外，第0阶PSWF窗的截断效果略优于Kaiser窗，Kaiser窗的截断效果略优于Blackman窗。

图2 4种窗函数的功率谱密度对比图

观察图2并结合表1可知，从频域功率谱密度来看，在窗口长度一致、c和β对应的约束条件下：第0阶PSWF窗的旁瓣峰值最低、旁瓣衰减速度最快、主瓣宽度最宽、能量最为集中；Hamming窗的旁瓣峰值最高、旁瓣衰减速度最慢、主瓣宽度最窄、能量最不集中；Kaiser窗和Blackman窗的4项性能指标介于第0阶PSWF窗和Hamming窗之间，且Kaiser窗的性能略优于Blackman窗。

表1 图2中的关键数据

窗函数旁瓣峰值/dB旁瓣衰减速度主瓣宽度/Hz能量聚集度/%第0阶PSWF窗-88.37最快3.78599.999 96Kaiser窗-71.27略慢于PSWF窗3.28799.999 87Blackman窗-58.11略慢于Kaiser窗3.06399.961 77Hamming窗-43.47最慢2.09299.547 87

综上所述，从提升数字滤波器能量效率和频谱效率的角度出发，第0阶PSWF窗的整体性能是最优的。

2 设计方案

2.1 实施步骤

基于PSWF的线性相位FIR-BSF设计方案的核心思想是：首先，根据需求确定阻带频段，并选取合适的理想BSF冲激响应；随后，采用第0阶PSWF对其进行“加窗”截断操作，以期得到具有线性相位特性和因果特性的FIR-BSF。具体的设计方案步骤可归纳如下：

① 根据实际工程实践所要求的阻带衰减As、过渡带宽Bt和通带波纹Rp等技术指标，结合理想带阻滤波器的下阻带参数ωL和上阻带参数ωH，明确可用的窗函数，并估计窗口长度M。

② 通过窗口长度M和标准窗函数He(ejω)，构造理想的频响函数Hd(ejω)，具体操作为：

(3)

其中，对于带阻滤波器而言，He(ejω)的具体形式如下：

(4)

③ 根据已知的Hd(ejω)，通过离散傅里叶逆变换(IDFT)或快速傅里叶逆变换(IFFT)计算得到理想时域响应函数hd(n)。

④ 再次考查实际工程实践所要求的阻带衰减As、过渡带宽Bt和通带波纹Rp等技术指标(主要是As的要求)，确定所需PSWF窗的时间带宽积因子c。

⑤ 将m=0和上一步确定的c代入式(2)，得到符合要求的第0阶PSWF窗函数ωPSWF(n)。

⑥ 进行“加窗截断”操作，得到线性相位FIR-BSF的设计结果，即

h(n)=hd(n)ωPSWF(n)，

(5)

同时，根据h(n)的对称性和M值，明确设计结果是4类线性相位特性中的哪一类。

2.2 评价指标

在完成上述设计方案步骤后，设置相关的评价指标，对设计结果进行科学合理的评价。可用于评价FIR数字带阻滤波器的技术指标主要有：

① 实际过渡带宽Bt′，如图3所示。就一般带阻滤波器的设计结果而言，通常存在常数ωL′略大于ωL，亦存在常数ωH′略小于ωH，则实际过渡带宽可定义为Bt′=ωL′-ωL或Bt′=ωH-ωH′。实际过渡带宽越窄，带阻滤波器的性能越理想。

② 通带内衰减Dp′，如图3所示。通带内衰减可定义为Dp′=1-ε。通带内衰减越小，带阻滤波器的性能越好。

③ 实际阻带衰减As′，即实际阻带[ωL′,ωH′]内所能取得的最大幅值，在幅值归一化且dB单位条件下，实际阻带衰减As′的绝对值越大，带阻滤波器的频率阻碍性能越好。

图3 FIR数字带阻滤波器设计结果频域示意图

3 数值分析

根据上节的设计方案与评价指标，本节将通过设计实例，从3个方面进行数值分析：① 基于PSWF的线性相位FIR-BSF设计实例及其对比分析；② PSWF的窗口长度一定时，时间带宽积的变化对滤波器性能的影响分析；③ PSWF的时间带宽积一定时，窗口长度的变化对滤波器性能的影响分析。旨在验证上述方案的正确性与有效性，并挖掘相关规律。

设计实例：设某系统不允许ω∈[π/4,3π/4]内的频率通过，现使用窗口设计法，利用第0阶PSWF窗设计阻带衰减为70 dB、过渡带宽不超过0.18π的线性相位FIR-BSF，以满足该系统的需求。

3.1 基于PSWF的线性相位FIR-BSF设计实例及其对比

根据式(4)，当ωL=π/4,ωH=3π/4时，通过IFFT计算得到理想时域响应函数：

(6)

而后，将m和c代入式(2)，并对该式计算结果进行M=51点等间隔采样，得到符合要求的第0阶PSWF窗函数序列ωPSWF(n)，并进行“加窗截断”操作，得到线性相位FIR-BSF的设计结果，即

h(n)=hd(n)ωPSWF(n)，

(7)

同时，由于h(n)是偶对称的且M的值为奇数，因此该带阻滤波器具备第一类线性相位特性。

在此基础上，将第0阶PSWF窗依次替换为Kaiser窗和Blackman窗，给出如下设计结果：As=70 dB，根据经验式β=0.110 2(As-8.7)，将Kaiser窗的椭圆参数β设置为6.755 3。采用不同窗函数时FIR-BSF设计结果对比如图4所示。

依据2.2节的评价指标，给出性能指标的评价数据如表2所示。

图4 采用不同窗函数时FIR-BSF设计结果对比

表2 采用不同窗函数的设计结果评价指标数据

窗函数实际阻带衰减/dB实际过渡带宽通带内衰减/dB实际通带波纹/dB第0阶PSWF窗-90.890.11π6.0213.944 1×10-4Kaiser窗-73.770.09π6.0234.085 5×10-4Blackman窗-74.960.14π6.0221.002 3×10-3

由表2可知，从实际阻带衰减来看，采用第0阶PSWF窗设计的BSF性能明显优于Kaiser窗和Blackman窗的性能；从实际过渡带宽来看，采用第0阶PSWF窗设计的BSF性能优于Blackman窗的性能，略逊色于Kaiser窗的性能；从通带内衰减来看，采用第0阶PSWF窗设计的BSF性能略优于Kaiser窗和Blackman窗的性能；从实际通带波纹来看，采用第0阶PSWF窗设计的BSF性能与Kaiser窗的性能大致相当，二者均明显优于Blackman窗的性能。

综上所述，与Kaiser窗和Blackman窗相比，采用第0阶PSWF窗设计的线性相位FIR-BSF的性能最优。

3.2 时间带宽积的变化对滤波器性能的影响

在窗口长度一定的条件下，分析时间带宽积的变化会对滤波器的性能产生何种影响。图5分别给出在窗口长度M=111的条件下，c=3π,10π,30π时的设计结果。

由图5和表3可知，随着时间带宽积的增大，实际阻带衰减的绝对值随之增大，实际过渡带宽也随之变宽。换言之，PSWF时间带宽积增大所带来的实际阻带衰减增益是以牺牲过渡带宽为代价的。在实际工程实践中，若是更侧重于提升能量效率或强化阻带的频率阻碍特性，则应适当增大时间带宽积；若是更侧重于减小过渡带宽，则应当适当减小时间带宽积。这一结论有力地说明了PSWF的时间带宽积可控性能够为工程实践提供更强的灵活性。

图5 不同时间带宽积条件下的设计结果对比

表3 图5中的关键数据

时间带宽积实际阻带衰减/dB实际过渡带宽3π-92.930.05π10π-204.00.12π30π-259.10.16π

3.3 窗口长度的变化对滤波器性能的影响

在时间带宽积一定的条件下，分析窗口长度的变化会对滤波器的性能产生何种影响。图6分别给出当时间带宽积c=4π时，窗口长度M=51,81,111时的设计结果。

由图6可知，给定c=4π：当M=51时，实际过渡带宽为0.16π；当M=81时，实际过渡带宽为0.10π；当M=111时，实际过渡带宽为0.07π。由此可见，随着窗口长度的增加，带阻滤波器的实际过渡带宽逐渐减小。换言之，虽然窗口长度的增加会不可避免地导致计算量增大与硬件复杂度提高，但是在过渡带宽方面会取得较为明显的增益。通过进一步的数值发现，在本例线性相位FIR-BSF设计中，PSWF的窗口长度每增加30，可获得的过渡带宽增益约为0.03π～0.04π。

图6 不同窗口长度条件下的设计结果对比

4 结束语

针对基于PSWF的FIR-BSF设计方案研究空白，为发挥PSWF的优势、提升FIR数字滤波器的性能，采用Hermite函数逼近法得到PSWF显式渐近表达式产生第0阶PSWF脉冲信号。在此基础上，将第0阶PSWF窗与其他主流窗函数进行对比分析，验证了第0阶PSWF的最优性能。

在给出基于PSWF窗的FIR-BSF设计方案与评价指标的基础上，通过数值分析得到有关结论：① 与Kaiser窗和Blackman窗的设计结果相比，从实际阻带衰减、通带内衰减、实际通带波纹等评价指标来看，第0阶PSWF窗的设计结果最优；从实际过渡带宽来看，第0阶PSWF窗的设计结果次优。因此，整体上来讲，基于PSWF窗的设计结果具有最佳性能。② 当PSWF的窗口长度一定时，若是更侧重于提升能量效率或强化阻带的频率阻碍特性，则应适当增大时间带宽积；若是更侧重于减小过渡带宽，则应当适当减小时间带宽积，这一结论有力地说明了PSWF的时间带宽积可控性能够为工程实践提供更强的灵活性。③ 当PSWF的时间带宽积一定时，其窗口长度每增加30，可获得的过渡带宽增益约为0.03π～0.04π。

实际上，随着信息时代的到来和数据流量的倍增，基于PSWF的FIR数字滤波器的应用范围愈发广泛，在计算机、雷达、导航及无线移动通信等各工程领域中均具有重大价值，在下一步的研究中，应当继续挖掘PSWF能够为信号处理元器件(不仅是数字滤波器，比如希尔伯特变换器、微分器等)性能带来的其他方面的增益，以期进一步PSWF信号在能量效率或频谱效率方面的优势。