探究二次函数的图像与性质

赫文波

【摘 要】在初中数学中，二次函数的图像和性质使不少初学二次函数的初中生感到困惑。结合教科书的内容安排，按照本文中的研究顺序，循序渐进，逐步深入，会很容易弄明白二次函数的图像和性质。

【关键词】二次函数;抛物线;对称轴

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0170-02

在初中数学中，二次函数的图像和性质使不少初学二次函数的初中生感到比较困惑。其实二次函数的本质是数量关系的变化，将数量变化与图形相结合进行学习，就不会像一些同学想象的那么困难。结合教科书的内容安排，按照下面的研究顺序，循序渐进，逐步深入，会很容易弄明白二次函数的图像和性质。

1   y=x2和y=-x2的图像和性质

二次函数的学习，要以y=x2和y=-x2的探究为起点。采用五点法作图，通过找到函数图像的最高点或最低点，然后根据横坐标对称性取点，描点作图，这样就很容易得出这两个函数图像（如图1）。仔细观察这两个函数的图像特点，不难发现：y=x2和y=-x2的图像都是顶点在原点、关于y轴对称的抛物线，其形状和张口大小完全相同，区别仅在于开口方向不同。

2   y=ax2（a≠0）和y=ax2+k（a≠0）的图像和性质

在上面研究的基础上，再来探究y=ax2（a≠0）的图像和性质。还是先通过五点法描点画图，得出图像。比如研究y=2x2（和y=-2x2）的图像，y=2x2的图像与y=x2的图像对比可知，y=2x2的图像的张口要比y=x2的图形的张口小;y=x2的图像张口比y=x2的图像的张口大。也就是说，x2的系数a的绝对值越大，图像的张口越小;a的绝对值越小，图像的张口越大。a是负数时只是对应的开口方向不同。

于是得到，函数y=ax2（a≠0）的图像与y=x2的图像对比：当a是正数时，它们的顶点、对称轴完全相同，只是张口大小不同;而且当a的绝对值越大张口越小，a的绝对值越小张口越大。与y=x2和y=-x2的图像关系相同，y=ax2中a是正数与a是负数时图像的开口方向不同。例如y=3x2

的图像的张口要比y=x2的图像的张口小，y=x2的图像的张口要比y=x2的图像的张口大;y=-3x2的图像的张口大小与y=3x2的图像的张口大小相同，只是它们的开口方向相反。

理解了y=ax2（a≠0），接下来探究y=ax2+k（a≠0）的图像。通过画图，可以看到，这一函数的图像（如图2），只是在y=ax2的图像的基础上向上或向下平移|k|个单位。当k是正数时，向上平移;当k是负数时，向下平移。顶点坐标是（0，k），对称轴还是y轴。例如y=2x2+1的顶点坐标是（0，1）;y=-3x2-1的顶点坐标是（0，-1）。

3   y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像和性质

在探究了y=ax2（a≠0）和y=ax2+k（a≠0）的图像基础上，再来探究y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像。通过五点法描点作出图像（如图3），可以发现y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像和y=ax2+k（a≠0）的图像形状和大小相同，只是对称轴向右或向左平移了|h|个单位。当h是正数时对称轴向右平移，当h是负数时对称轴向左平移。对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

如y=2（x-1）2+1的顶点坐标是（1，1），对称轴是x=1，它可以看做是y=2x2+1的图像向右平移了1个单位;y=2（x+1）2+1的顶点坐标是（-1，1），对称轴是x=-1，它可以看做是y=2x2+1的图像向左平移了1个单位。

此外，所有的二次函数都可以写成y=a（x-h）2+k（a≠0）。当h=0时，就是函数y=ax2+k（a≠0）;当k=0时，就是函数y=a（x-h）2（a≠0）;当h=0、k=0时，就是函数y=ax2（a≠0）;当a=1、h=0、k=0时，就是函数y=x2。对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），也可以通过配方的方法转化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，转化后的结果为

y=a（x+）2+（a≠0），它的对称轴是x=，

顶点坐标是（，）。如y=x2+2x+3可变形为y=（x+1）2+2，它的顶点坐标是（-1，2），对称轴是x=-1;再

如y=3x2-2x+5可变形为y=3（x-）2+，它的顶点坐标是（，），对称轴是x=。

按照上述顺序，由简入难，循序渐进地学习二次函数，找到与之对应的具体二次函数认真思考、举一反三、反复练习，每一种类型都坚持这样去做，便会弄清它们之间的联系与区别，那么二次函数图像和性质的问题就会迎刃而解。如y=5x2、y=5x2-2、y=5（x-1）2、y=5（x-1）2-2

（即y=5x2-10x+3），这些二次函数图像的形狀如何，它们的顶点坐标、对称轴分别是什么？y=5x2-2、y=5（x-1）2、y=5（x-1）2-2（即y=5x2-10x+3），这些函数的图像是由函数y=5x2的图像怎样移动得到的？认真分析各个函数的图像特点、函数间的移动变化规律，二次函数的实质也就弄明白了。

初学二次函数的学生，不要被一条条抽象的曲线吓住了，按照上述学习步骤，逐步揭开数量变化与图形之间的关系，认真思考，积极训练，一定能学好二次函数。