平面向量在数学中的若干应用

陈伟龙

一 、引言

平面向量在数学、科学技术中有着非常广泛的应用，它是近代数学中最基本和最重要的概念之一，是沟通几何、代数、三角等基本内容的桥梁，还是研究力学、电学和其他自然科学的有效工具。从数学的发展史来看，在相当长的一段时间内向量并未引起數学家们的重视，直到20世纪初被引入到中学数学。我国是在1996年高中数学大纲中引入了平面向量的，而近几年，平面向量已经成为高中数学中必不可少的一部分，尤其最近几年高考数学中的比重逐年增加，更是对不少题目的解题提供了捷径。本文通过若干实例来谈一谈平面向量在中学数学中的应用，以求更简便地解决数学问题。

二、向量在不等式证明的应用

在解决数学问题中，不等式证明题是比较难的，是很多同学们最头疼的问题，如果能够巧妙利用向量的知识，就能做到化难为易既简便又快速。

例1：设a，b，c，d∈R，求证（a3c+b3d）2<（a6+b6）（c2+d2）

证明：设向量m→=（a3，b3），n→=（c，d），再设向量m→与n→的夹角为θ

则（m→·n→）2=（a3，b3）·（c，d）2

=（a3c+b3d）2=m→n→cosθ2

即（a3c+b3d）2<（a6+b6）（c2+d2）

点评：对于传统的不等式的证明要用到分析法、综合法、作差法等各种“技巧”，证明的过程会比较冗杂而恰恰利用向量的数量积的定义，便能使整个证明过程简明扼要，从而节省时间而且使数学更加有趣。

三、向量在立体几何中的应用

立体几何是数学考试中必考的内容，由于一些题中图形比较复杂，需要学生有很好的空间想象能力，因此在解立体几何的题目时，很多方法相当繁琐，对那些空间想象能力较差的同学就难于进行求解。但如果我们运用以下方法求解就会有不同的效果。

例2：已知二面角α-l-β的度数为120°，AC在二面角α内，BD在二面角β内，且AC⊥l，BD⊥l，AB=1，AC=3，BD=4，求CD的长。

解：设向量AC，BD，AB

∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB=0，AB·BD=0

又∵二面角α-l-β的度数为60°

∴CA，BD=180°-120°=60°

CD=CA+AB+BD

CD=CA+AB+BD

=CA+AB+BD·CA+AB+BD

=CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2AB·BD+2BD·CA

=38

点评：本例是比较常见的立体几何，也是不少学生选择放弃的题目，本题结合向量的加法运算和减法运算、向量的数量积三种技巧解题，往往可以达到事半功倍的效果，缩短了解题的时间。

四、平面向量在最值的应用

向量的坐标是代数与几何联系的纽带，是平面向量的重点内容，对于求函数最值的问题，直接利用向量的坐标表示，就有意想不到的效果。

例3：求函数y=3x-4+45-x的最大值

解：设向量a→=（3，4），b→=（x-4，5-x）

∴a→·b→=3x-4+45-xa→b→

=32+42（x-4）2+（5-x）2=5

当且仅当a→与b→平行时取等号

即a→=kb→（k>0），解得x=10925=4.36（满足4x5）

∴函数y=3x-4+45-x的最大值为5.

点评：本例如果采取常规方法（用三角函数进行设元，或者用柯西不等式），显然这对一些基础较差的学生来求解有点勉为其难，但是采用向量的坐标法，不仅解法简捷明了而且易理解，易上手。

五、在平面解析几何的应用

点可以看作是几何中的基本元素，而往往把几何图形又看作是点的集合。如果把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算.从而使问题得到解决。

例4 已知三个点A（5，5）B（1，3）C（2，1）。

（1）求证：AB⊥BC.

（2）要使四边形ABCD为矩形，求另一个顶点的D坐标并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值。

（1）证明：∵A（5，5）B（1，3）C（2，1）

∴AB=（1-5，3-5）=（-4，-2），BC=（2-1，1-3）=（1，-2）

又∵AB·BC=（-4）×1+（-2）×（-2）=0∴AB⊥BC故AB⊥BC

（2）解：依题意，设顶点D的坐标为（x，y）

∵四边形ABCD为矩形

∴AB=DC AB=（1-5，3-5）=（-4，-2） DC=（2-x，1-y）

即（-4，-2）=（2-x，1-y）

∴X=6

Y=3故D的坐标为（6， 3）。

这时CA=（3，4），BD=（5，0），而

CA=5，BD=5，CA·BD=3×5+4×0=15

设CA与BD的夹角为θ，则cosθ=CA·BDCA·BD=1525=35

故矩形ABCD的对角线所夹的锐角的余弦值为35。

点评：本例是典型的平面几何问题，如果利用平面几何知识证明、求解，很难找到突破口，而且思维过程较复杂、计算量大，但用向量法处理就可使得问题变得简单多了，学生也易理解、掌握。

六、在解三角形中的应用

一般情况下，我们在解三角形中经常会用到正弦定理和余弦定理，而对这两条定理的证明往往采用传统方法给出，而向量法的使用，突破了传统方法的一些不便之处（如繁杂、难懂等），同时简捷明了，构造思想也易于接受，对培养创新思维很有帮助。

例5：在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，

求证：a2=b2+c2-2bccosA

证明：设BC=a→，AC=b→，BA=c→

a→2=BC2=BC·BC=（BA+AC）（BA+AC）

=BA2+AC2+2BAACcos（180°-A）

=BA2+AC2-2BAACcosA

故a2=b2+c2-2bccosA

点评：本例巧妙引用向量，运用数量积，解决余弦定理的证明，让人回味无穷。

从上述例子可以看到， 把平面向量引入数学领域之后，不仅有数的精确又有形的直观，在解决许多数学问题确实有其独特之处，而且方法和手段比较新颖、易懂、简洁，受到学生们的欢迎。因此在课堂上要树立应用向量的意识，充分挖掘课本素材，从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品味、去领悟，在公式、定理的探索中逐渐体会向量的，逐渐形成应用平面向量的意识。同时还要把学生的思维进行深化，把直觉思维逐步引向理性逻辑思维.此外，在教学中还应注重引导学生善于思考，探索相关的问题，加以引申使之成为解题方法，做练习，有意引导学生用平面向量的方法去解决问题，加深印象，巩固知识，体会平面向量解题的优越性，让数学的学习变得更加简便而有趣。

责任编辑 朱守锂