基于等效线性化防屈曲支撑结构的振型分解法研究

黄俊奎 刘文雅

(1.襄阳高新国有资本投资运营集团有限公司，湖北 襄阳 441000； 2.湖北省襄阳市襄州区住房和城乡建设局，湖北 襄阳 441000)

0 引言

振型分解反应谱法是分析弹性多自由度体系抗震性能的常用方法[1,2]，其实际包含多自由度体系振型分解及反应谱两种理论。首先，将结构模型简化为有限的多自由度体系，多自由体系的震动过程可分解成各基本振型的叠加，分别求解各基本振型下的地震谱响应，再以一定的组合规则对各振型下的地震谱响应进行叠加，来近似计算多自由度体系的最大地震响应。因此，该方法进行了多次简化处理，只能近似得到结构的地震响应，对结构地震响应的精确计算较难，但也因其计算量不大，能快速得出结构的地震响应，适宜手算，且计算出地震响应偏大，对结构的抗震设计偏安全，是现行抗震规范较推荐的一种抗震分析方法。

振型分解只适用于结构弹性阶段抗震分析，认为结构的刚度始终不变，而一旦结构进入弹塑性阶段便不再适用。对装有BRB的减震结构，其结构刚度会随着BRB的金属内芯屈服开始逐渐减小[3-5]。因此，若仍用振型分解反应谱法分析非线性BRBS的地震作用效应，就必须以一定的方法对BRBS的恢复力模型进行等效线性化处理，使等效后的线弹性结构与BRBS的地震响应相同，用振型分解法对等效的线弹性结构进行抗震分析便得到BRBS的抗震性能。

1 支撑力学模型

BRB的恢复力模型是对其进行等效线性化的关键。目前，多数金属耗能器采用了两种恢复力模型：力—位移—速度(速度相关)模型和力—位移(位移相关)模型，BRB是现较常用的金属耗能器，多采用第一种模型。BRB的力—位移—速度模型可表示如下：

(1)

BRB的力—位移模型可用式(2)表示：

Fd=K(X)X

(2)

2 BRB的等效线性化

BRB恢复力的等效线性化包含阻尼等效化和刚度等效化，目前常用的方法有能量法和割线刚度法两种方法。

2.1 能量法

在结构抗震研究中，结构振动方程的建立与求解均是基于阻尼粘滞理论[6]。能量法的基本原理就是将BRB等效成粘滞阻尼，以粘滞阻尼求解结构的振动方程。设BRB受正弦荷载P(t)=Fsinωt，采用力—位移—速度恢复力模型，该模型BRB等效刚度为Kψ。BRB恢复力函数表达式为：

(3)

BRB在一个周期内所消耗的能量为：

(4)

其中，Xu为与周期对应的累计位移，BRB的位移响应为X=Asin(ωt-θ)，令φ=ωt-θ，A为BRB振动的轴向位移，ω为圆频率，代入式(4)：

(5)

等效的粘滞阻尼恢复力表达式为：

(6)

粘滞阻尼在振幅A下一个周期所消耗的能量为：

(7)

由能量相等原则Ed=E，则BRB等效为粘滞阻尼时的阻尼系数为：

(8)

2.2 割线刚度法

割线刚度法主要用于BRB的力—位移恢复力模型，其模型一般都可用折线或光滑滞变恢复力曲线来表示。欧进萍等[7-10]基于耗能阻尼的双折线模型，分别对比分析了5种等效线性化方法的精度，对比结果表明割线刚度法具有较高的精度，并给出了等效刚度及等效阻尼的表达式：

(9)

(10)

(11)

其中，ΔW(X)为位移幅值X时恢复力曲线包围的面积；C(X),K(X)分别为BRB的阻尼与刚度，均是关于支撑位移的函数；α为BRB第二刚度系数；ω为BRB弹性振动的固有频率，Xu为BRB的轴向位移。BRB的恢复力一般采用如图1所示的双线性模型来描述。

由式(9)～式(11)得到BRB的等效阻尼和等效刚度如下：

(12)

(13)

其中，Ku为BRB的初始弹性刚度；Xy为BRB屈服界限位移。由式(12)，式(13)可以看出，当Xu≤Xy时，即BRB位移小于其屈服界限位移时，BRB等效阻尼为零，结构只有附加刚度而无附加阻尼。

3 支撑结构振型分解

由式(12),式(13)可知，BRB的等效阻尼是关于位移的函数，而地震作用下BRBS各层的层间位移并不相同，各层BRB附加阻尼不尽相同。采用迭代方法求解各层BRB等效阻尼值，具体步骤如下：

1)先利用等效线性方法计算结构各层BRB的等效刚度Ki0及结构刚度Kis，两刚度叠加得到BRBS的刚度Ki。

2)设定各结构层的支撑初始附加阻尼ξi0，由ξi0和Ki，采用底部剪力法或振型分解法求解BRBS各层的相对位移Δi0。

3)将Δi0代入等效阻尼式(9)或式(12)中求解各层BRB的附加阻尼和阻尼比ξi1，比较ξi1与ξi0的差值，并由ξi1代替ξi0重复上述1)～3)的步骤，直到最后两次计算的阻尼比相差很小时ξin≈ξin-1停止计算。

将BRBS简化为n层的质点系，多质点体系地面振动方程为：

(14)

(15)

通常情况下，耗能抗震结构的附加阻尼矩阵并不满足正交性，一般忽略其阻尼矩阵的非正交项，认为仍然满足正交性[3]，对BRBS做相似处理，则有：

(16)

通过以上假设，利用瑞利阻尼正交性对式(14)进行解瑕计算，得到n个独立的微分方程：

(17)

(18)

4 BRBS的地震反应谱

地震反应谱是统计我国大量地震动输入下单自由度体系振动方程的最大加速度—阻尼比—自振周期关系曲线，经简化得出的谱曲线。其对结构抗震设计具有普遍使用意义。为了方便使用，我国将地震反应谱以地震影响系数曲线表示，并在GB 50011—2010建筑抗震设计规范[11]中给出了地震作用公式：

Fji=γjXjiαjGi

(19)

式中符号意义见文献[5]，αj为关于ξ及T的函数αj(ξ-T)，见文献[10]。将BRBS的阻尼比(ξsj+ξej)代入地震影响系数函数αj(ξsj+ξej-T)及式(19)便可求解BRBS第j振型i层的水平地震力Fji。

最后由“平方和开方”方法对各振型地震响应进行组合计算BRBS的水平地震作用效应，即：

(20)

其中，SEK为BRBS水平地震作用效应；Sj为j振型下BRBS地震效应。

5 结语

1)振型分解反应谱法由于其简便适用被大多数工程设计人员所熟悉，目前仍然是结构抗震设计的主导方法。但其仅适用于结构弹性情况，为了将其用于非线性BRB减震结构的抗震分析，必须对BRBS进行等效线性化处理。

2)基于等效粘滞阻尼理论及割线刚度理论，得到BRB恢复力的两种等效线性化方法：能量法和割线刚度法。将BRB的等效刚度和阻尼比代入弹性结构振型分解反应谱中，再以一定的效应组合规则叠加得到BRBS的地震响应。