平面多复链杆体系几何组成分析的作用线法

陈 延 东

(盐城幼儿师范高等专科学校建筑工程学院，江苏 盐城 224005)

0 引言

在结构力学中，所谓复链杆，是指连接两个以上铰结点的链杆。对含有复链杆的平面体系进行几何组成分析时，通常要将复链杆视为刚片，再运用三刚片规则(或二刚片规则)判断体系的几何可变性。然而，当体系中复链杆数较多时，特别是不小于3时，传统三刚片规则的应用受到很大限制，如图1所示体系存在三个复链杆，将它们分别视为刚片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ，无法运用三刚片规则判断其几何可变性。

这里将复链杆数不小于3的平面杆件体系称为平面多复链杆体系。对于计算自由度为零的平面多复链杆体系，机动分析理论上可以运用零载法加以解决，但运用零载法时，通常要进行定量分析，计算过程纷繁复杂。本文提出一种针对平面多复链杆体系机动分析的新方法——作用线法，供结构力学学习爱好者参考借鉴。

1 基本原理

零载法分析几何组成的基本原理是：当体系计算自由度W=0时，体系应为几何可变体系或无多余约束的几何不变体系(静定结构)。根据静定结构内力解唯一的特征可知，在无荷载作用的情况下，体系内各杆件的内力均为零。如果体系存在能够平衡的“自内力”，那么就可以判定为几何可变体系。相反，假定体系内某一杆件存在内力，经过受力分析，与假设产生了矛盾，则可以推出体系内各杆件的内力均为零，进而可以判定体系为无多余约束的几何不变体系。

作用线法是在零载法基础上进行优化的一种机动分析方法，特别适用于平面多复链杆体系。和零载法一样，作用线法的应用限于W=0的体系，其基本原理是：对于含有n个杆件(包括单链杆和复链杆)的多复链杆体系，假定某一单链杆存在内力(不为零)，可以根据平衡条件依次确定其余n-1个杆件的受力图，最终根据第n个杆件的受力图是否合理，判断其几何可变性，第n个杆件若为单链杆，受力图二力共线则为几何可变体系，否则为几何不变体系；若为复链杆，受力图三力作用线汇交于一点则为几何可变体系，否则为几何不变体系。下面举例说明，图2a)所示体系为多复链杆体系，W=0,试用作用线法。假定体系中单链杆1存在内力(不妨设为拉力)，则内力的作用线确定——沿杆件轴线方向，如图2b)所示。根据杆件与节点的平衡条件依次可得杆(2),(4),(3)的受力图如图2c),图2d),图2e)所示。杆3受力图最后确定，观察发现其所受三个力未汇交于一点，体系不能平衡，得出矛盾，所以判定体系为无多余约束的几何不变体系。

2 判断几何可变的充分性证明

若第n个杆件不能平衡，则体系内力必为零，从而可以判定体系为无多余约束的几何不变体系。那么，若第n个杆件受力图二力共线或三力汇交于一点，是否说明体系在非零内力下可能处于平衡状态，进而判定体系为几何可变体系，就要对其充分性进行证明。这里以图3a)所示多复链杆体系为例，假设单链杆(1)轴力不为零且为拉力，可作出杆(1),(2),(4)的受力图，进而得到复链杆(3)的受力图(见图3b))，三力汇交于一点，此时各杆的受力作用线均已确定。下面证明该体系几何可变。

先不考虑各杆间作用力与反作用力大小相等关系，假定体系中所有杆件各自平衡，各杆件受力情况如图3c)所示。

(1)

(2)

(3)

可以证明，各复链杆的杆端力存在如下关系(证明过程略)：

(4)

不妨设F2=F10=F1(F1为杆(1)轴力大小)，F4=F5，由式(4)得：

F7=F8。

即：

(5)

此时，除0铰外，其余各铰接点均可平衡。进一步验证节点0是否平衡：

式(1)～式(3)矢量求和再与式(5)联立得：

由此可见，节点0平衡，故体系可以平衡，判定体系为几何可变体系。实际上任意类似体系都是矢量传递最终闭合的结果，均可证明作用线法判断几何可变的充分性。

3 几点讨论

3.1 作用线法的使用限制

由于零杆和二元体不受力，使用作用线法时不能假定其内力不为零，所以不需要作出零杆的作用线，若体系中存在二元体，应首先去之。同时，为了建立复链杆之间的联系，体系中应至少有一个单链杆直接连接两个复链杆。

与复链杆连接杆件超过3个时，其受力图中将存在3个以上的力，作用线法原则上不能适用，但复链杆所受n个力(n>3)中n个力的作用线全部汇交于一点或n-1个力的作用线交于一点时，杆件是否可能平衡也是确定的，若n个力的作用线全部汇交于一点，体系几何可变(如下文算例2)；若恰好n-1个力的作用线交于一点，体系几何不变。

3.2 复链杆概念的延伸

复链杆是一种链杆，几何组成分析时，常将刚片看成链杆或链杆看成刚片，那么，这里完全可以将复链杆概念延伸为：连接两个以上铰接点的刚片。图4中杆(1)、杆(2)、杆(3)组成刚片，该刚片连接三个铰接点，实为广义的复链杆。作用线法使用前，确定复链杆数应当把这种广义复链杆考虑进去。

3.3 三力平衡汇交定理推论

三力平衡汇交定理描述的是某一刚体受共面不平行的三个力作用而平衡的情形，若作用于复链杆的三个力，其中两个力的作用线平行或共线，那么杆件要想平衡，第三个力的作用线必定平行或共线于那两个力，该结论可以用反证法证明，实际上，此时杆件所受三个力的作用线汇交于无穷远处，完全可以看作三力汇交定理的推论。

4 算例分析

例1对图5a)所示体系进行机动分析。该体系自由度为0，共有3根复链杆(大地为广义复链杆)，右侧复链杆通过支座单链杆与大地连接，可以使用作用线法。从右侧支座链杆开始依次作出杆(1)、杆(2)及大地受力作用线如图5b)所示，大地受力作用线未汇交于一点，判定体系为几何不变体系。

例2对图6a)所示体系进行机动分析。该体系自由度为0，共有5根复链杆，其中一根复链杆连接四个铰接点，试用作用线法。从上端单链杆开始依次作杆(1)～杆(5)的作用线(见图6b))，杆(5)所受力均共线，体系几何可变。

5 结语

本文对平面复链杆体系机动分析提出了一种基于零载法的作用线法，该法原理直观、简明，易于理解掌握，增加了结构力学学习的趣味性，可作为结构力学几何组成分析教学的拓展内容。但本法的使用也有诸多限制，望读者从中获得灵感，找到更加普适的分析方法。