“折”出新精彩 “展”出新天地——对一道中考数学实验试题的赏析

季春龙，陈德前

（江苏省泰兴市实验初级中学；江苏省兴化市教育局教研室）

一、试题呈现

题目（2018年江苏·泰州卷第25题）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图1（1）），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图1（2））.

（2）将该矩形纸片展开.

①如图1（3），折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开.求证：∠HPC=90°.

②不借助工具，利用图1（4）探索一种新的折叠方法，找出与图1（3）中位置相同的点P，要求只有一条折痕，且点P在折痕上.试简要说明折叠方法.（不需要说明理由.）

图1

二、特色解读

1.简单折叠，高于教材，完善探索过程

此题取材于苏科版《义务教育教科书·数学（实验手册）》八年级上册“实验14打印纸中的数学”，这个实验是为苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册“4.3实数”而设计的，目的是通过探索A4纸的长与宽的比值，感受的存在.在实验中，首先要求学生观察A4纸的长与宽，对其比值做出估计，通过直观感受，培养数感，激发数学应用的意识；其次，度量A4纸的长与宽，算出比值，此时得出长与宽的比不一定是，但会接近；再次，按图1（1）和图1（2）所示的方式折叠，折出的正方形对角线与A4纸的长边重合，而正方形的对角线与宽的比是，即可得到A4纸长与宽的比是.这样，学生就会在动手做的过程中，感受无理数的存在，激发求知欲.命题者在对该实验进行适当的文字变动后，精心设计出了第（1）小题：求的值.这里没有设计为直接写出的值，而是要“求”的值，其目的是完善实验过程——验证猜想的正确性，要求学生写出用逻辑推理验证猜想的过程：先设出AD=a，再由矩形ABCD和折叠性质，推理出BE=BC=a.最后通过计算和折叠性质得到进而验证了猜想.这里考查了数感、符号意识、几何直观、运算能力、推理能力等多种数学核心素养.此题的难度不大，大多数学生都能正确完成，属于送分题.

2.深化折叠，提升难度，确保有效区分

第（2）小题第①问在前2次折叠的基础上，进行第3次折叠——折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB交于点P，再将其展开.这一折一展，看似平常，却“折”出了新精彩，“展”出了新天地.通过几何直观、测量比较，易发现△PHC是等腰直角三角形，但要证明∠HPC=90°并非易事，难度明显提升.阅卷情况表明，此题的得分率比较低，达到了有效区分的目的.很明显，要证明∠HPC=90°，只需证明Rt△AHP≌Rt△BPC.而要得到全等中边相等的条件，须有较强的运算能力.

事实上，要解决这个问题，需进行“三算”.

（1）抓住题目关联，发挥“题标”作用.用好第（1）小题中的成果，由AD=a，，算得

（2）利用折叠性质，构建数学模型.如图2，连接EH，由折叠可知EH=DH.再由符号意识，设AH=x，则EH=DH=a-x. 在Rt△AEH中，利用勾股定理，构建方程模型，可算得

图2

（3）抓住折叠本质，用好垂直平分.设折痕与CD交于点Q，由折叠知HC被PQ垂直平分，则有PH=PC.再由符号意识，设BP=y，则在Rt△APH和Rt△BCP中，利用PH2=PC2构造方程模型，即可算得，AP=a.进而得到判断三角形全等所需要的条件AH=BP和AP=BC.

综观上述思考过程，可以发现，学生必须具备较高的符号意识、几何直观、数据分析、运算能力、推理能力、模型思想等多种数学核心素养，才能顺利解决这个问题.当然，随着学生思考角度的不同，建立数学模型的不同，解法也多元化，这有利于学生的自主发挥，较好地体现了中考命题的基本原则.

3.自主折叠，抓住本质，引领应用创新

在前三个折叠实验的基础上，命题者又设计了第（2）小题第②问中的第4次操作，要求不用工具，操作实验，探索一种新的折叠方法，找出与图1（3）中位置相同的点P，要求只有一条折痕，且点P在折痕上.

这里通过简炼的文字，传递了3个信息：

（1）不用作图工具，而是进行折叠；

（2）只折出折痕交AB于点P；

（3）点P要与图1（3）中的点P位置相同.

学生必须认真读题、审题，弄清楚这些信息，才能迅速找到正确的操作思路.应该说，操作时信息（1）和（2）中的要求是很容易做到的，但信息（3）中的要求需要学生认真思考：图1（3）中的点P位置具有怎样的特征？

借助于几何直观，学生可得到猜想：

（1）CP是∠BCE的平分线，即∠BCP=22.5°；

（2）AP=AD，即∠ADP=45°.

要验证这些猜想的正确性，必须用好前面已得到的结论.

（1）由沿CH折叠，可得∠HCE= ∠HCD=22.5°.由△PHC是等腰直角三角形，可得∠HCE=∠PCE=22.5°. 因此∠BCP=22.5°. 可见要确定点P的位置，本质就是折出∠BCE的平分线与AB的交点P（如图3）.

图3

图4

（2）由解决第（2）小题第①问中的“三算”，可得到AP=AD=a.因此△ADP是等腰直角三角形.可见要确定AB上点P的位置，本质就是折出∠ADC的平分线与AB的交点P（如图4）.

这样在命题者的引领下，学生灵活运用前面得到的结论，确定点P位置的两种新折叠方法应运而生，几何直观、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等数学核心素养也得到了彰显.

综上所述，这道题全面考查了学生的数学核心素养，体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对学生数学核心素养的要求，是实现中考命题从能力立意到素养导向的典范，对初中数学教学中如何有效地进行学生数学核心素养的培养具有一定的指导作用.

三、新解推介

限于篇幅，现仅对第（2）小题第①问的几种有别于评分标准的简捷解法思路加以推介.

解法1：如图5，设PQ与CH交于点O，连接EH，EO.由折叠可知，∠BCP=∠PCE=∠ECH=∠HCD=22.5°，且PQ垂直平分CH.

所以PC=PH.

故∠PHC=∠PCH=∠BCD=45°，∠HPC=90°.

图5

解法2：如图5，由折叠可知，∠ECH=∠DCH=22.5°，∠CEH= ∠D=90°，PQ垂直平分CH.

所以OH=OE=OC，∠CQP=67.5°，∠OEC=∠OCE=22.5°.

所以∠PEO=∠EPO=67.5°，OP=OE=OH=OC.

所以∠HPC=90°.

解法3：如图6，连接HQ.

图6

由折叠可知，∠ECH=∠DCH=22.5°，HQ=CQ，PH=PC.

所以∠CHQ= ∠DCH=22.5°，∠HQD=45°.

作PM⊥CD于点M，

因为∠PQC=∠DHC，

所以Rt△PMQ∽ Rt△CDH.

所以PQ=PC=PH，∠PCQ=∠PQC，∠HQP=∠QHP.

因为∠CQP+∠HQP=135°，

所以∠PCQ+ ∠PHQ=135°，∠HPC=90°.

解法4：如图7，连接EH，ED，HQ.

由折叠可知，∠ECH= ∠DCH=22.5°，∠CEH=∠ADC=90°，CH⊥DE.

所以∠AHE=45°，AE=AH，PQ∥DE.

又因为PQ垂直平分CH，

所以QH=QC，∠DHQ=∠DQH=45°，DH=DQ.

易知四边形PQDE是平行四边形，即DQ=PE，AP=AD=BC.

图7

所以AH=BP.

易证△AHP≌△BPC，∠APH=∠BCP.

因为∠BCP+∠BPC=90°，

所以∠APH+∠BPC=90°.

所以∠HPC=90°.

解法5：如图7，连接EH，ED，HQ.

所以 ∠HPC=90°.

解法6：如图8，连接EH，设PQ与CH交于点O，连接AO并延长，交BC的延长线于点G.

图8

设AD=BC=a，

易证△AOH≌△GOC.

所以AB=BG，∠BAG=45°.

由∠PAH=∠POH=90°知，A，P，O，H四点共圆.

所以∠PHO=∠BAG=45°.

又因为PH=PC，所以∠HPC=90°.

解法7：如图9，同解法6，有∠G=45°.

连接BO，由∠POB= ∠COG，BO=GO，∠PBO=∠G=45°，

有△BOP≌△GOC.

所以OP=OC=OH.

所以∠HPC=90°.

图9

解法8：如图10，同解法6，有△ABG是等腰直角三角形.

连接BO，过点O分别作OM⊥BC于点M，ON⊥AB于点N，

则OM=ON.

易证△NOP≌△MOC.

所以OP=OC=OH.

所以∠HPC=90°.

图10

【评析】以上8种解法分别从直角三角形的定义、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理等角度来寻找解题途径，涉及到的知识点有轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰、全等、相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，四点共圆等知识和方程、转化、数形结合、建模等数学思想方法.无论哪种思路与方法，学生都要具备良好的空间想象能力、熟练的合情推理与演绎推理能力、稳定的心理素质和较强的核心素养，这充分体现了考基础、考能力、考素养、考潜能，和以学生发展为本的目标.

四、教学建议

1.加强实验教学，转变教学行为

数学大师陈省身曾为少年儿童题写过“数学好玩”四个字，欧拉也曾说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验.”《标准》也明确指出：数学实验是学生数学学习的一种方式，提倡有条件的学校可以建立数学实验室.为此，苏科版教材专门设置了“数学实验室”“数学活动”“课题学习”三个“做数学”的栏目，配发了《初中数学实验手册》，这为教师开展数学实验教学提供了蓝本.数学实验栏目与教材的出现，将势不可挡地占据中考的有利地形，成为中考试题中亮丽的风景线，同时也使考查的形式丰富灵动起来.正如此题，考查学生的不再是“已知—求证（解）—证明（解答）”的旧面孔，而是将操作思考、计算说理、创新设计等多种能力的考查融于一体，它把“动”还给了数学，使数学变得活泼可爱，变得好玩，自然就拉近了学生与数学的距离，有效地改变着学生数学学习的方式.这样的试题对我们的教学提出了更高的要求，要求教师要更新教学理念，加强数学实验的教学与研究.在平时的教学中，要转变教学行为，注重设计好的数学实验活动，引导学生变“听数学”为“做数学”，变“看演示”为“动手操作”，变“机械接受”为“主动探究”，使学生在数学实验中理解和掌握基础知识和基本技能，感悟和运用基本数学思想方法，获得基本活动经验，这样他们面对新的数学实验时就会依据已有的知识、技能、思想方法和活动经验去得心应手地解决问题.

2.关注操作本质，突出思维参与

数学实验是通过动手和动脑“做数学”的一种数学学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下，进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动.从一定程度上讲，数学实验中的表象观察与本质分析的交织、抽象思维与形象思维的并存、大胆猜想与小心验证的互补，都是发展学生思维能力和创新精神的极佳契机.因此，在平时的数学实验教学中，要明确数学实验并非仅仅停留在学生“热闹”的手头操作上，而要让学生从实验操作的表象中去深刻思维，挖掘和感悟实验背后所蕴含的数学原理和方法，让学生明白数学实验必须要有猜想、归纳、分析、验证等思维过程，思维是数学实验活动的核心.例如，此题属于折叠问题，但折叠只是一种表象操作，其本质是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等是它的数学本质.这里，第1次折叠得到了正方形（或等腰直角三角形，因此有45°的角），第2次折叠得到了筝形（即四边形CDHE，因此有CH垂直平分DE），第3次折叠得到的也是筝形（即四边形CPHQ，因此有PQ垂直平分CH），第4次折叠就是四等分∠BCD（或二等分∠ECD）.明白了这些操作背后所蕴含的数学本质，则形成众多的解题思路就会水到渠成.但从阅卷情况来看，许多学生看不到这些数学本质，思考时无法下手，致使此题的得分率很低.由此可见，关注操作现象中的数学本质，对于解决问题是何等的重要，我们在数学实验教学中，一定要引起足够的重视！

3.研究命题动向，落实核心素养

2016年中国教育学会印发的《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》中明确提出要发展学生的核心素养.2014年教育部印发的《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中指出要研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准，要研究学科核心素养体系.《标准》提出的十个“核心关键词”，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，就是具有初中数学学科特色的数学核心素养体系.为了落实教育部的指示，中考命题正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变.因此，中考如何围绕学生的数学核心素养来设计试题，成为命题专家潜心研究的课题，且在2018年的中考试题中得到了很好的体现.认真研究这些试题，对我们在教学中如何落实学生的数学核心素养将得到十分有益的启示.从上面的分析我们发现，此题综合考查了学生的数感、符号意识、几何直观、数据分析、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等多种数学核心素养，这就要求我们平时要从多维度培养学生数学核心素养的高度来设计教与学的活动.我们要在认真学习有关发展学生数学核心素养方面文献的同时，认真研究这些典型的中考试题，反思自己的教学，并及时加以调整，这样才能确保学生数学核心素养的培养在课堂上落地生根.