两类代数的整体维数

杨佳佳，章 超

(贵州大学 数学与统计学院，贵州 贵阳 550025)

本文中，k是代数闭域，k-代数A是有限维代数，mod-A表示代数A决定的右A-有限生成模范畴。在代数表示论中，整体维数作为重要的同调不变量之一，得到了深入研究。1987年，Schelter就利用整体维数对一些代数进行了分类，证明了整体维数为3的正则代数共分为13类[1]。1945年，Hochschild就提出Hochschild(上)同调的概念，显然，代数A的整体维数有限，则其高次Hochschild上同调是平凡的。Happle基于这一事实，考虑此结果的逆命题，即所谓的Happle问题。Happle问题对许多代数成立，如交换代数[2]，单项式代数[3]。后来，韩阳研究员又提出了基于同调维数与整体维数的Han猜想[3]。由此可见，整体维数与代数的性质有密切联系。

2010年，Poettering讨论路代数kQ在不同允许理想I下的整体维数，对两类重要的代数(Poettering分别将之称为Am型代数和Xm型代数)作出讨论，证明了在特定的允许理想I下，代数kQ/I的整体维数取决于m；当Q包含定向圈时，g.l.dim(kQ/I)=[4]。后来，Happle和Zacharia针对此问题也进行了研究，进一步地定义了集合A(Q)={kQ/I| dimk(kQ/I)<且g.l.dim(kQ/I)<}，并考虑sup{dimk(kQ/I)|kQ/I∈A(Q)}与sup{g.l.dim(kQ/I)|kQ/I∈A(Q)}之间的关系[5]。

1 代数整体维数

考虑文章的完整性，本节将给出代数整体维数的定义，详见参考文献[6]。

定义1.1设M是任意的右kQ/I-模，称模M的投射分解是形如这样的一条正和列P•=…→Pl→Pl-1→…→P1→P0→M→0，其中对于任意i≥0，Pi是投射模。

定义1.2对于上述定义模M的投射分解P•，若对于任意i≥l+1，Pi=0，同时对于0≤j≤l，Pj≠0，则称l是模M的投射长度，记作l(P•)=l。特别地，M的投射维数取M的所有投射分解长度的下确界infl(P•)，记作p.dim(M)。此外，代数kQ/I的整体维数g.l.dim(kQ/I)=max{p.dim(M)|M是右-kQ/I模}。

下面的定理来自于文献[6]定理4.8，通过定理可以简便地计算代数kQ/I的整体维数。

定理2.1如果kQ/I是有限维k-代数，则

g.l.dim(kQ/I)=max{p.dim(S)|S是单右-kQ/I模}。

2 An型k-代数的整体维数

本节将讨论箭图为An型代数kQ/I的整体维数和理想I之间的联系。方便起见，关系p=αiαi+1…αj-1记作[i,j]，其中i

定义2.1对任意关系[i,j]与[r,s]，其中i

定义2.2设允许理想I=〈ps=[is,js]|s=1,…,n〉，如果允许理想I中的m个生成元ps,…,ps+m-1满足对任意正整数t∈{s,…,s+m-2}，pt,pt+1相交且对任意正整数l≠t-1,t,t+1，pt,pl不相交，则称这m个关系有效相交。理想I的有效相交关系数是满足有效相交关系的最大个数，记作N。

定理 2.1设kQ/I是An型k-代数，其中允许理想I=〈ps=[is,js]|s=1,…,n〉，则代数kQ/I的整体维数为N+1，其中N是理想I的有效相交关系数。

证明：不妨假设关系pa,pa+1,…,pb的有效相交关系数为N，则存在下列不等式

ia

则对任意mod-kQ/I中单模S(ir)，其中r∈N且a≤r≤b，极小投射分解形如

0→P(jb)→P(jb-1)→…→P(jr+1)→P(jr)→P(ir+1)→P(ir)→s(ir)→0，

于是p.dim(S(ir))=b-r+2≤N+1。特别地，当r=a时，等号成立。

若存在其他的有效相交关系pu,pu+1,…,pv，对于单模S(it)，其中t∈N且u≤t≤v，p.dim(S(it))=v-t+2≤N+1。特别地，若关系pu,pu+1,…,pv的有效相交关系等于N，此时当t=u时，等号成立。

对于其余单模S(i)，其中i∈Q0{ir|r∈N,1≤r≤n}，极小投射分解形如

0→P(i+1)→P(i)→s(i)→0，

可知p.dim(S(i))=1。

综上所述，

根据定理2.1，显然有以下结论。

推论2.1设kQ/I是An型k-代数，其中I=〈ps=[is,js]|s=1,…,n〉是允许理想。对任意正整数s∈{1,…,n-1}，ps=[is,js],ps+1=[is+1,js+1]不相交，则kQ/I的整体维数为2。

证明：由定理2.1的证明可知当i∈Q0{ir|r∈N,1≤r≤n}时，mod-kQ/I中单模S(i)的投射维数为1。又当i=ir(r∈N,1≤r≤n)时，有i1

0→P(jr)→P(ir+1)→P(ir)→S(ir)→0，

(1)当i

(2)当i>j时，记号(i,j)表示长度不大于n的路pi,j=αiαi+1…αj-1。

定义3.1设允许理想I=〈pr=[ir,jr],pt=(it,jt)|

1≤r≤s,s+1≤t≤n〉。

(1)若p,q∈I均包含非平凡子路γ，满足t(p)=t(γ)，s(γ)=s(q)，则称p,q是相交的。

(2)如果存在m个关系pu,pu+1,…,pu+m-1满足对任意正整数v∈{u,…,u+m-2}，pv,pv+1相交且对任意正整数l≠v-1,v,v+1，pv,pl不相交，则称这m个关系有效相交。理想I的有效相交关系数是满足有效相交关系的最大个数，记作N。

(3)设理想I中存在关系pu,pu+1,…,pv是有效相交，其中u

下面给出本节中重要的定理，它揭示了理想与代数整体维数之间的内在联系。

(it,jt)| 1≤r≤s,s+1≤t≤n〉。若I是循环有效相交型允许理想，则g.l.dim(kQ/I)=；否则g.l.dim(kQ/I)=N+1，其中N是理想I的有效相交关系数。

证明：(1) 由已知假设关系pu,pu+1,…,pv是有效相交且关系pv与pu有效相交，其中1≤u

(a)若I存在关系pa=[ia,jb]，满足ia∈{ju-1,ju+1-1,…,jv-1}，此时不妨假设ia=ju-1，则对于mod-kQ/I中的单模S(ia)，S(ia)的极小投射分解形如

…→P(ju)→P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→

P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→P(jv)→…→

P(ju+1)→P(ju)→P(jb)→P(iu-1)→S(iu-1)→0，

可得p.dim(S(ia))=。

(b)若不存在关系pa=[ia,jb]，满足ia∈{ju-1,ju+1-1,…,jv-1}。任取mod-kQ/I中的单模S(ir)，r∈N且u≤r≤v，S(ir)的极小投射分解形如

…→P(ju)→P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→

P(jv)→…→P(ju+1)→P(ju)→P(jv)→…→

P(jr+1)→P(jr)→P(ir+1)→P(ir)→S(ir)→0，可得p.dim(S(ir))=。

(1)允许理想取I=〈[1,5],[2,6],[3,7],[4,8],[6,9],(8,3)〉。

因为理想I是循环有效相交型允许理想，所以g.l.dim(kQ/I)=。

(2)允许理想取I=〈[1,5],[3,7],[5,8],[6,9],(8,3)〉。

因为理想I的有效相交关系数是6，所以g.l.dim(kQ/I)=7。