一类扰动Kadomtsev-Petviashvili方程的雅可比椭圆函数解的收敛性探讨*

焦小玉 贾曼 安红利

1)(南京财经大学应用数学学院,南京 210023)

2)(宁波大学物理与技术学院,宁波 315211)

3)(南京农业大学理学院,南京 210095)

为构造一类扰动Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的级数解,利用同伦近似对称法求出三种情形下具有通式形式的相似解以及相应的相似方程.而且,对于第三种情形下的前几个相似方程,雅可比椭圆函数解亦遵循共同的表达式,这可以产生形式紧凑的级数解,从而为收敛性的探讨提供便利:首先,对于扰动KP方程的微扰项,给定u关于变量y的导数阶数n,若n≤1(n≥3),则减小(增大)|a/b|致使收敛性改善;其次,减小ε,|θ-1|以及|c|均有助于改进收敛性.在更一般情形下,仅当微扰项的导数阶数为偶数时,扰动KP方程才存在雅可比椭圆函数解.

1 引 言

对于源于现实问题中各种现象的非线性方程,人们通常研究其数值解.除去数值解之外,近似解析解也有助于非线性方程的研究.非线性方程附加了微扰项则变成扰动非线性方程,这类方程的近似解析解可以利用扰动理论[1,2]结合精确求解方法进行构造.

作为非线性方程的一类精确解析解,群不变解可以通过李群或者李对称理论[3,4]中的经典或非经典李群法[5]、李对称方法与直接法[6]进行求解.这些方法通过减少自变量的个数实现偏微分方程的化简.作为直接法的一种修正,改进的直接法[7,8]貌似与李群理论无关,但是却可以重构李对称群甚至离散变换群.

经典李群法用于延拓方程组而不是原偏微分方程可以得到更多的约化,非经典李群法实质为经典李群法应用于原偏微分方程与不变曲面条件组合成的延拓方程组.延拓方程组也可以通过引入辅助变量并且将非局域对称局域化[9]而产生,这套方案引领了诸如孤立子、cnoidal周期波与Painlevé波等不同类型非线性波之间相互作用的研究[10,11].

扰动理论和李群理论两种方式结合为近似对称法: Baikov等[12]提出的近似对称法实际上是对称群的近似,因为对称群生成元推广至扰动形式;而Fushchich等[13]提出的近似对称法则是基于扰动方程近似子方程的精确对称.文献[14,15]对两种方法进行了比较,说明第二种方法优于第一种方法.文献[16,17]进一步推广了第二种近似对称法,得到了通式形式的约化方程.第二种近似对称法甚至可以求出扰动非线性方程的级数解[18].近似直接法[16]改为利用直接法求解这些子方程,则可以得到与近似对称法相同的约化结果.

扰动理论也可以结合同伦理论以产生同伦分析法[19-21],该方法通过将非线性方程分解为无穷多线性子方程实现非线性方程的化简与求解.此方法适用于非扰动方程,因而较扰动理论优越,甚至能够求出扰动方法、人工参数法[22]、δ扰动展开法[23]以及Adomian分解法[24]求解的级数解.

若近似对称法引入同伦,则同伦分析法的诸多优点能够得以保留,产生的同伦近似对称法[25]与同伦分析法的主要区别在于,同伦近似对称法将非线性方程分解为无穷多非线性子方程.类似地,同伦结合近似直接法可以得到同伦近似直接法[26].

本文的主要目的是探讨扰动非线性方程的雅可比椭圆函数级数解的存在性以及收敛性.在第2节,对于具有相似微扰项的一类扰动Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程,根据同伦近似对称法,无穷多约化方程以及约化解的通式形式得以构造.前几个约化方程的雅可比椭圆函数解亦具有通式形式.第3节主要涉及级数解的收敛性的讨论.第4节是结论部分,针对更加广泛的微扰项,讨论了扰动KP方程雅可比椭圆函数级数解的存在性.

2 扰动KP方程的同伦近似对称

扰动KP方程形如

是通过如下KP方程[27]添加微扰项εE(u)而产生的:

通常,微扰项的补充可以使模型方程对实际问题的刻画更为贴切.为方便起见,本文采用诸如ux3=uxxx的记号.

扰动KP方程的同伦模型

在同伦参数q由0变到1时,逐渐由KP方程转变为扰动KP方程,这体现了由简单到复杂的渐变过程.其中,θ/=1是辅助参数.暂取定一类特殊微扰项εE(u)=εux6-nyn,(n=0,1,···,6),即因变量关于空间变量{x,y}的所有六阶导数.关于同伦参数q的级数展开

可以将该同伦模型分解为一系列近似子方程

其中u-1=0.本文所有负指标量均取0.这些近似子方程的线性化方程为

其中函数形式的点对称为

其中{X,Y,T,Uk(k=0,1,···)}的变量为{x,y,t,uk(k=0,1,···)}.

(5)式—(7)式联立用于决定{X,Y,T,Uk}(k=0,1,···).取定n,将(7)式代入(6)式,利用(5)式消去uk,xt,并且将uk的所有导数系数取0,得到关于{X,Y,T,Uk(k=0,1,···)}的无数方程组成的决定方程组.为简化求解,仅考虑(5)式的前几个方程.例如限定(5)式中的k的范围k∈{0,1,2}.易知{X,Y,T,U0,U1,U2}的变量减少为{x,y,t,u0,u1,u2},尝试不同的n的取值,反复求解决定方程组,可以推断决定方程组的解形如

其中,C1，C2都是任意常数;f(t)是关于t的任意函数.满足δ0,0=1以及δk,0=0,(k/=0)的记号δi,j亦适用于下文.令(7)式中的所有σk取0,求解相应的特征方程,则可以确定(5)式的相似解.

情形1:当C1/=0时,不失一般性,做变换使得如下的相似解不会出现C1

此时,(5)式约化为统一形式

情形2:当C1=0,C2/=0时,不失一般性,做变换求解特征方程,可以得出相似解

此时,(5)式约化为统一形式

情形3:当C1=0,C2=0,C3/=0时,将C3改写为a,可得相似解

此时,(5)式约化为统一形式

若指标k给定,且{P0,P1,···,Pk-1}已知,以上三种情况的相似方程显然是关于Pk的四阶偏微分方程.

考虑(14)式中约化方程的诸如雅可比椭圆函数形式的特解,做出假设

其中{fk,i,g}是关于所含变量的待定函数.所有fk,i都不是{sni(g(ξ,t),m),i=0,1,2,···}的线性组合.由于(14)式中的系数包含f(t)及其导数,所以这些系数的化简可以通过假设f(t)为一个常数b实现.此时,这些系数退化为常数.

类似文献[18]中关于各阶约化方程的求解过程,(15)式中Pk的确定也是通过分步求解过程实现的.在第k步中,将已知解{P0,P1,···,Pk-1}以及未知解Pk代入(14)式中的k阶方程,再取所有含有{sn(g(ξ,t),m),cn(g(ξ,t),m),dn(g(ξ,t),m)}的各项系数为0,则可以得到(15)式中各项系数fk,i(ξ,t)的方程组.通过求解这些方程组,再回代入(15)式,即可得到约化方程(14)中的前几个方程的雅可比椭圆函数解(见附录).

3 扰动KP方程的级数解

在q=1条件下,将(13)式以及附录中的雅可比椭圆函数解代入(4)式,提取关于sn(cξ+h,m)的不同幂次的系数,可以将级数解重新表示为如下紧凑形式

其中ak,i与bk,i只包含常数m.容易验证,若θ=0,该级数解一定是近似对称法所得级数解.

已知每个雅可比椭圆函数取值于区间[-1,1],所以,为了确保(16)式的收敛性,须满足显而易见,当k增加时,减小ϵ,|θ-1|或者|c|有助于减小|Ak|.任意常数a和b对于收敛性的影响需另当别论.尤其需要注意Ak之中[a/(6b)][(2-n)i+n]的幂次[(2-n)i+n].当n≥3时,对于i≥k有(2-n)i＜0,仅当|a/(6b)|＞1时,成立,此时增大|a/b|可改善收敛性;当n=2时,(2-n)i+n=2.任意常数a和b与收敛性之间没有明显关系;当n≤1时,(2-n)i＞0.仅当|a/6b|＜1时,=0成立.此时,减小|a/b|改善收敛性.

当t=0且y=0时,取α=1,h(t)=t,m=0.5,c=1以及ε=0.1,在图1—图4中对截断级数解关于变量x做图,这些图可以说明辅助参数θ与比值|a/b|如何影响级数解的收敛性.实线、虚线、点线、点划线分别表示k取值{0,1,2,3}情形下的级数解在这些截线图中,相邻曲线之间相对距离的变化趋势可用于研究级数解的收敛性.当k增加时,若相邻曲线之间的相对距离显著减少,则收敛性得以保证,相应区域可视为收敛域.从这些截线图容易看出,相邻曲线之间最大相对距离的区域恰好是波峰与波谷区域.发散区域可以从波峰与波谷区域中寻找.

图1—图4中的每个子图(a),(b),(c),(d)分别对应参数 θ 取值0.90,0.99,1.01,1.10.图1和图2取值 n=1 ,而图3和图4取值 n=3.图1和图3取定 a=2b ,而图2和图4取定 a=b/2.从每个图的各个子图之间的比较易知,θ=0.99以及θ=1.01两种情形的级数解的收敛性明显强于θ=0.90以及 θ=1.10 两种情形.于是,辅助参数愈接近1,级数解的收敛性愈好.

图1和图2的唯一区别是常数a和b.比较图1和图2的对应图形可得,a=b/2情形的收敛性强于 a=2b 情形.同样方式,图3和图4的唯一区别也是常数a和b.比较图3和图4的对应图形可得,a=2b 情形的收敛性强于 a=b/2 情形.由于图1和图2区别于图3和图4之处仅是微扰项中n关于变量y的导数阶数n,这也可以说明,若 n ≤1 ,|a/b|取 值越小收敛性越好; 若 n ≥3 ,| a/b| 取值越大收敛性越好.

观察级数解(16)的表达式,Ak中的表明,满足且减小可以改善级数解的收敛性.减小 c2,ε,|θ-1|对收敛性的改善效果基本相同,但是三者应区分对待.首先,扰动参数 ε 是小参数,表明实际问题中微扰因素的强弱,具体取值取决于实际问题.其次,在同伦模型(3)式中,θ 越接近1,该模型越接近KP方程而不是扰动KP方程,从而级数解(16)式更好地刻划KP方程而不是扰动KP方程.最后,减小 |c|有利于改善收敛性,但是,|c| 并不是越小越好,顾及(13)式中的相似变量级数解(16)式可以化为

c的取值对级数解的形态有很大影响: 第一,减小|c|致使级数解的周期变大,波动愈加平缓; 第二,减小 |c|时 ,( b/a)(ht/c)会使级数解急剧增加或减小,级数项的系数 c2会使级数解急剧减小.所以,减小|c|也 应适度.此外,此级数解也表明: 减小 | a/b| 致使x轴方向周期变大.

4 总结与讨论

级数解的收敛性依赖于任意常数 { a,b,c} ,扰动参数 ε 以及辅助参数 θ .然而,任意常数{a,b,c}的调整会导致级数解的周期随之显著变化.所以,减小扰动参数 ε 是改进收敛性最便捷最有效的手段.不同于任意常数 { a,b,c} ,调整扰动参数不会显著影响级数解的形态.

附录 (14)式的雅可比椭圆函数解

其中c为任意常数.