浅谈数学课中例习题的变式教学

魏述营

在数学教学中，例题和习题是课堂问题的主体，例、习题的变式训练是巩固知识，加深理解，培养方法，熟练技能的必要步骤。对例、习题进行恰当、合理的变式训练，可以开阔学生的视野，激发学生的学习兴趣，并能摆脱题海战术，取到以少胜多，事半功倍的教学效果。

一、变式教学应注意的几个问题

1.源于課本，自然流畅

重视课本，对课本的典型例、习题进行合理变式，通过一题多变，使学生加深对所学知识的理解和掌握。

例1、求函数的最大值及此时x的值（人教B版必修5第71页例题）.

分析：此题考查利用均值不等式求函数最值应注意的问题——“一正、二定、三相等”，为使学生更好地掌握均值不等式的应用，可做如下变式，而没必要做过多的不同题目。

变式1：函数有最大值还是最小值？

分析：变式1改变了变量x的符号，显然当时函数有最小值。

变式2：函数的最大值还是吗？

分析：变式2考查等号成立的条件，新授课只要求学生判断最大值是否是，而不要求具体求出最大值，若是复习课，可结合函数的图象，求出函数的最大值是。

变式3：求函数的最小值及此时x的值。

分析：将函数的分子、分母同除以x后，再利用均值不等式求解。

变式4：求函数的值域。

分析：

可将看作一个整体，将函数变形为，再利用均值不等式求得值域是。

2.循序渐进，有的放矢

变式训练要由易到难，逐步深入，不可“一步到位”，否则学生会产生畏难情绪，并且变式要有一定的目的性。

例2、已知不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0的解集。（人教版必修5第100页习题）

分析：此题常用的解法有两种，一是利用函数、方程、不等式之间的关系求解，二是利用换元法，为便于学生理解换元法，可做如下变式。

变式1：已知不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0的解集。（令x=-t）

变式2：已知不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0的解集。（令）

做完这两道变式训练题之后，再用换元法（令）来解例2，学生便欣然接受了。

3.加强联系，融会贯通

在讲线性规划问题时，例题中的目标函数大多是线性目标函数，如，或的形式，为加强知识的横纵联系，提高学生解决问题的能力，可将目标函数做如下变式。

变式1：

变式2：

变式3：

分析：解决以上问题，需要学生活用直线的截距、直线的斜率公式、两点间距离公式及点到直线的距离公式，变式训练让学生在学习新知识的同时，对旧知识得到复习、巩固和提高，从而提高了教学效果。

4.因材施教，灵活变式

新授课、习题课、复习课的变式要求不同，如新授课的变式应服务于本节课的教学目的，习题课的变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和方法，而复习课则要加强知识的联系，适度综合，但要紧扣课程标准，不可脱离实际，并且要控制变式的数量和难度。另外，要根据学生学习中存在的问题，灵活编写变式训练，培养学生对知识的迁移能力，从而更好地掌握所学知识。

5.学生参与，师生互动

在变式教学中，一般是教师“变”题，学生做题，学生处于被动状态。为此，教师可以鼓励学生参与“变”题，由其他同学或老师来做。当然，很有可能学生“变”出来的题目是错误的，根本无法求解。这时，要求教师同学生一起分析问题所在，反而使学生对所学知识有更深入的理解，同时也培养了学生的创新意识和创新精神。

二、编写例、习题变式的常用方法

编写例、习题变式可通过改变运算符号、改变曲线类型、加强或弱化条件、交换条件和结论、变换图形、探究新结论等方法完成。

例3、要使不等式| x+2|+|x-3|>a恒成立，求a的取值范围。

“+”变“-”得变式1：要使| x+2|-|x-3|>a恒成立，求a的取值范围。

“肯定”变“否定”得变式2：不等式| x+2|+|x-3|≤a的解集为空集，求a的取值范围。

例4、直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A，B，求证：OA⊥OB.

交换条件和结论得变式1：直线y=x-2与抛物线y2=2px相交于点A，B，且OA⊥OB，求抛物线方程。

变式2：斜率为1的直线与抛物线y2=2x相交于点A，B，且OA⊥OB，求直线方程。

变探究性结论得变式3：已知直线y=x-2，是否存在抛物线y2=2px，使直线与其交于点A，B，且以AB为直径的圆过坐标原点？

变式4：直线l： y=kx+m与抛物线y2=2x相交于点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点，试判断直线是否过定点？

在此基础上，若将抛物线y2=2x改为椭圆，将原点改为椭圆右顶点，则变式4就变成了2007年高考山东卷的题目（文22，理21）。

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程;

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

再看下面几道考题

设O是抛物线y2=4x的顶点，A、B是抛物线上异于O的两点，且OA⊥OB，OM⊥OB，M是垂足，求点M的轨迹方程。

（2005年高考广东卷）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A，B满足OA⊥OB.

求△AOB的重心G的轨迹方程;

求△AOB的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值;若不存在，请说明理由.

以上考题均与上述例题有关，从近几年高考题来看，课本的例、习题是高考题的“源题”，是对这些题目的变式和进一步延伸，使得题目更加精彩。教师在教学中，应善于对课本例、习题进行合理变式、挖掘、加工、改造，将练习题植根于教材，既减轻学生负担，又能保证教学效果。