从儿童的数学现实出发——以《不含括号的三步混合运算》一课为例

崔宏宇

摘要：在“以人为本”的教育理念下，我们的教学应尊重学生的数学现实，将他们已有的数学现实（现有的水平）作为教学的起始点，将他们当下的数学现实（问题、困惑、经验、感受等，即“最近发展区”）作为教学的生长点，将他们可能的数学现实（潜在的发展水平）作为教学的拓展点。

关键词：数学现实以学定教不含括号的三步混合运算

在“以人为本”的教育理念下，我们的教学应尊重学生的数学现实，将他们已有的数学现实（现有的水平）作为教学的起始点，将他们当下的数学现实（问题、困惑、经验、感受等，即“最近发展区”）作为教学的生长点，将他们可能的数学现实（潜在的发展水平）作为教学的拓展点。下面，以苏教版小学数学四年级上册《不含括号的三步混合运算》一课为例加以说明。

一、挖掘学生已有的数学现实，寻找教学的起始点

本课，教材文本首先呈现了“购买围棋与象棋”的情境（例1），引出“三步混合运算在特定的情况下简化成两步运算”的知识;然后通过“试一试”，教学三步混合运算的计算顺序，即在没有括号的算式里，要先算乘、除法，再算加、减法。

而学生在学习本课之前，已经理解了四则运算的意义，掌握了两步混合运算的计算顺序，能通过迁移、类推的方法自主探究三步混合运算的计算顺序。

基于知识内在的逻辑关系和学生的认知规律，笔者认为，本课应该遵循“从一般到特殊”的逻辑顺序进行教学，让学生经历完整的认知迁移过程，从而掌握一般的三步混合运算的计算顺序，并以之为进一步学习简化计算的基础。

因此，笔者将教材中的“试一试”（如图1）前置，并增设了现实情境：张老师买书付了150元，又买了5支笔，笔的价格如图2所示，张老师一共要付多少元？要求学生先独立完成，再在小组内交流各自的算式和想法。

学生完成后，笔者展示了三位学生的做法（见图3～图5），并请他们分别介绍自己的做法。学生分享后，笔者引导学生进一步观察比较，寻找异同。通过交流反馈，学生明确三位同学算法的相同之处在于：都是先算笔的单价，再算5支笔的总价，最后加上书的价格;都是先算除法，再算乘法，最后算加法。不同之处在于：第一位同学用的是分步算式，后面两位同学用的是综合算式;而两个综合算式中150的位置不同，一个在前，一个在后。

二、捕捉学生当下的数学现实，寻找教学的生长点

课堂教学是一个流动的进程，应该根据学生当下的数学现实（课堂生成）为他们创造探究知识的空间，在关键处通过問题驱动、思维启发、探究辨析等方式，帮助学生理解知识的内涵，从而极大地丰富学生对学习过程的体验，引发深度思考。

随着问题的不断解决，学生对一般的不含括号的三步混合运算的运算顺序的感性认识不断累积，并与先前关于运算顺序的认知达成一致——这是进一步学习简化计算的必要基础。

鉴于列综合算式是进行运算顺序教学的前提，更是培养学生建模能力的重要载体，笔者对教材中的例1也进行了改编，增加了列综合算式解答的要求（见图6）。

学生完成后，笔者展示了两位学生的做法（见图7、图8），并请他们分别介绍自己的做法。对于两种不同的算法，学生出现了不同的观点和疑问，并就此展开了积极的交流和讨论：有的学生认为这里的两个乘法算式不能同时计算，要和之前一样一步一步地计算，他们还以150+120÷6×5的计算过程为例进行补充说明，指出不算120÷6没办法计算20×5;有的学生则认为两个乘法算式可以同时计算，他们指出在150+120÷6×5中乘和除是连在一起的，但12×3+15×4算式中间是有加号连接的，乘和除又是同级运算，所以可以同时计算;还有一部分学生提出两种计算过程都是合理的，都能解决这个问题，只是第二种方法省略了计算步骤。此后，笔者引导学生结合问题情境明确：这里既可以先算出3副中国象棋的价格，也可以先算出4副围棋的价格。在肯定了两种做法都是正确的同时，笔者进一步强调了这里的两个乘法算式是可以同时计算的。

为了使学习材料更加丰富，笔者还在此增设了一个平行练习（见图9）。

学生完成后，笔者引导全班交流反馈，然后比较改编后的例1和平行练习，归纳得出：只有加、减在中间，乘、除在两边的情况下，乘、除可以同时计算。

接着，笔者继续引导学生观察改编后的“试一试”和例1，明确什么情况下乘、除可以同时计算，什么情况下乘、除不可以同时计算，体会到同时计算两步高级运算可以使计算过程简化。

三、预设学生可能的数学现实，寻找教学的拓展点

在前述学生交流的基础上，笔者提炼出一组对比题（见图10），通过题组练习，让学生将掌握的混合运算顺序加以运用。

64+4-8×864+4-8÷8

64×4-8+864÷4+8÷8

图10学生完成后，笔者让学生先说出每道算式的计算顺序，再观察算式，说一说有什么发现。学生汇报交流时，笔者适时进行总结：（1）数字相同，运算符号不同，运算顺序不同，结果不同。（2）有的算式可以同时计算，有的算式只能一步一步计算。

接着，笔者出示“80、40、4、2、×、÷、-”，让学生根据如下要求，运用所给的数字和符号，写出相应的综合算式。

（1）算式中乘和除同时计算。

（2）算式中乘和除同时计算，且结果最大。

（3）算式中乘和除同时计算，且结果最小。

绝大多数学生都能独立写出符合要求（1）的算式，有的学生能够写出多个。在分享交流的过程中，笔者引导学生进一步明确：要想乘和除同时计算，就要先把减号放在中间，然后进行其他符号和数字的组合。进一步强化简算条件：只有加、减在中间，乘、除在两边的时候，乘、除才可以同时计算。

写符合要求（2）的算式，学生的正确率明显下降。全班交流反馈后，结合得到的算式80×40-4÷2，笔者指出：要满足乘和除同时计算，减号还是要放在中间;要让结果最大，就要使被减数尽可能大，减数尽可能小，所以前面用两个较大的数相乘，后面用两个接近的数相除。

由于有了上一题的经验，写符合要求（3）的算式，学生的完成度较高。全班交流反馈后，结合得到的算式，笔者指出：要满足乘和除同时计算，减号还是要放在中间;要让结果最小，就要使被减数和减数尽可能接近。

写符合要求（2）和要求（3）的算式时，也有学生举出了负数以及小数、分数的例子。笔者认为此时解决问题已经不是最重要的，重要的是引发学生更深层次的数学猜想，即三步混合运算的知识无论是在正数范围，还是在负数范围，无论在整数领域，还是在小数、分数领域，都同样适用。由此拓展学生数学思维的宽度，使他们体会所学知识的普适价值。