利用微积分推导等差数列求和公式

2019-10-21 09:55韩春禹
新教育时代·学生版 2019年9期
关键词:等差数列微积分中学数学

韩春禹

摘 要:随着社会和科学技术的不断进步,中学生对知识的渴求度越来越高,对知识的领悟能力越来越强,这就使高等数学的思想很自然地融入中学数学的课本与课堂。将微积分知识与微积分思想渗透到中学数学是新课改的重要举措。本文研究利用微积分推导等差数列求和公式,充分体现微积分思想与中学数学的密切联系,展现它在中学数学中的广泛应用。对数学教师的专业化培养具有重要作用,对拓宽中学生知识视野、培养创新能力具有促进作用。

关键词:微积分 中学数学 等差数列

在中学数学中,数列是重要内容之一.涉及数列的问题很多,而且非常灵活,这对中学生来说理解和计算上都比较困难,计算量也比较大,所以对中学教师来说,既要让学生对数列的相关问题感兴趣,又要让学生真正理解数列的本质,还得将数列的公式牢牢记住.随着微积分知識被引入到中学数学课本,微积分思想就被应用得越来越多,因为高等数学中的微积分对初等数学内容可以起到化繁为简的作用,它能“变静为动”,将比较“生硬”的知识变得充满灵气,使学生更好地理解和掌握初等数学知识.对于数列,它常常被看做是一个特殊的函数,可以利用微积分思想来解决这种特殊函数的单调性、最值等问题。

如果仔细研究数列中通项公式和前项和,不难发现,已知通项公式,求前项和的过程类似连续函数求定积分的过程,而已知前项和,求通项公式的过程类似连续函数求导的过程[1].

在等差数列中,最重要的两个知识点就是通项及前项和,其中()

如果已知通项公式,如何求出前前项和?

问题 已知数列的通项公式是(),求前项和.

分析 通过初等数学的方法我们可以判断数列是等差数列,且公差为.中学数学的推导过程是通过高斯算法的启示,对于公差为的等差数列,用两种方式表示:

由(1)+(2),得

定积分实质上就是对近似值求和,然后对和进行求极限,对于等差数列的求前项和的过程,可以看成是连续函数求定积分的过程.

已知数列的通项公式是,设.如果我们对它直接求定积分,得到

可见,通过定积分的方法与初等方法求得的结果(3)(4)两式不同,问题何在?我们看下面两个图像观察与的关系.

假设公差,可以看成是第个小矩形的面积,那么就可以看作是前个小矩形面积之和如图3.2-1,但是的几何意义是前个小梯形的面积之和,如图3.2-2,可以观察到.

解决方法 根据上面的分析,利用几何当中常用的图形割补法,将图3.2-1的图像上的小矩形都向右移动个单位,得到图像3.2-3,观察图像,将直线上方的小三角形与直线下方梯形的空缺处的三角形面积相等,这样,我们可以得到图3.2-4,根据图像的变换特征,将图3.2-1中的每个宽度为1的小矩形面积转化为图3.2-4高为1的直角梯形的面积,根据定积分的定义,图3.2-4的所有小梯形的面积之和为.

所以,我们之前计算的前项和

很明显是错误的

根据上面讨论的解决办法,得到正确的等差数列前项和与定积分的关系,即已知数列的通项公式是,前项和

结语

已知等差数列,前项和.

参考文献

[1]徐国栋.初探数列与微积分的关系[J].中学数学杂志,2011,11:29-31.

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