十字相乘法在含参二次方程（函数）问题中的应用研究

摘  要：十字相乘法是现阶段教育体系中的重点内容，其知识本质是进行恒等变形，以帮助学生加深对知识内容的掌握，提升学生的综合素养。本文探索十字相乘法在含参二次方程（函数）问题中的应用，探索其解题方法，以供参考。

关键词：十字相乘法;含参二次方程;二次函数

一、利用十字相乘法求字母系数值

灵活利用十字相乘法可以简化含参二次方程（函数）的难度.学生在解题过程中如果运用传统的解题方法步骤较为复杂，通过十字相乘法将问题进行转化，从全新的角度考虑问题，选择不同的方法求解，帮助学生获得正确答案^[1]。以实际的例题为例：

例题：已知关于 x 的方程（m -1）x²- 2mx + m + 1 = 0.

（1）求证：在方程中无论常数 m 取何值，方程均存在實数根.

（2）求证：当 m 取何整数时，方程存在两个整数根.

解题分析：（1）选择不等式进行验证;（2）选择十字相乘法进行求解，以分析的整除性质计算字母系数m值。

解：（1）在案例方程中当 m ≠1 时，该方程为一元二次方程，Δ = 4m²- 4（m - 1）（m + 1）= 4 > 0，因此当 m ≠ 1为其他值时，方程存在两个不相等的实根。当 m = 1 时，案例方程为一元一次方程，存在一根。由此可知，无论m为何值方程（m -1）x²- 2mx + m + 1 = 0均存在实数根。

1. 将方程进行变形，转化为（m - 1）x²- 2mx + m + 1 = 0，获得[（m - 1）x -（m + 1）]（x - 1）= 0，方程存在两根，x₁= 1，x₂=（m + 1）/（m - 1），其中x₁无影响，只需要使x₂为整数，（m + 1）/（m - 1）=（m - 1）/（m - 1）+2/（m - 1） 转化为1+2/（m - 1），由此可知2/（m - 1）为整数即可保证存在两个实数根，经过计算m=0、2、、-1。

二、利用十字相乘法求代数式的值

灵活利用十字相乘法可以简便计算代数式值，简化计算过程，降低知识难度，帮助学生扩展解题思路^[2]，获得最终答案。以实际的例题为例：

例题：已知关于 x 的方程 x²-（2m + 1）x + m（+ 1）=0.

（1）求证：在方程中是否始终存在两个不相等的实数根.

（2）求证：已知方程中一个根为0，计算代数式（2m -1）²+（3 + m）（3 - m）+ 7m - 5 .

解题分析：（1）选择不等式进行验证;（2）选择十字相乘法计算，通过根的定义代入代数式中计算结果。

解：（1）计算Δ，Δ = 1 > 0.

（2）将原方程x²-（2m + 1）x + m（+ 1）=0进行转化，获得（x - m）[x -（m + 1）] = 0，计算得出x₁= m，x₂=m + 1。将代数式（2m -1）²+（3 + m）（3 - m）+ 7m - 5 化简后获得3m（m + 1）+ 5，其中一根为x=0则可知x₁= m=0时，代数式结果为5，当x₂=m + 1=0时，代数式结果为5，

三、利用十字相乘法与函数结合

十字相乘法与函数结合也是常见的一种解题方法，灵活利用两种方法的优势进行计算，简化计算的过程^[3]，获得精确的答案，以实际的例题为例：

例题：已知反比函数的解析式 y =3k/x（k > 0）.

（1）求证：若已知反比例函数与正比例函数y=2x的图像存在交点，交点坐标为（未知，2），求k值。

（2）求证：直线l：y= kx + b 的图像与反比例函数相交两点，分别为A与B，且直线过点M（-2，0），当△ABO的面积为其=16/3时，计算直线的解析式。

解题分析：（1）利用反比例函数与正比例函数交点进行求解^[4]。

（2）利用反比例函数与直线交点进行联合解题，形成一元二次方程，再利用十字相乘法求解。

解：（1）根据已知条件可知，正比例函数与反比例函数的交点坐标为（1，2），将交点坐标带入反比例函数中，计算后求出k=2/3。

（2）根据已知条件，一次函数经过点M（-2，0），可计算出b=2k，转化一次函为y = kx + 2k，同时又可知y=3k/x，经过求解将y消除，kx + 2k =3kx，获得kx+2k=3k/x，而 k > 0，可知 x + 2 =3/x。继续进行计算，x²+ 2x - 3 = 0，解得 x₁= 3，x₂= 1，获得点A（1，6k），B（-3，-k）。当△ABO的面积为其=16/3时，可知S△ABO=S△AMO+S△BMO，1/2×2×（3k+k）=16/3，最终计算k值为4/，直线解析式为y=4x/3+8/3。

结束语：

综上所述，经过例题分析发现，在解决含参二次方程或者函数问题过程中，学生选择十字相乘法可以有效的简化知识难度，并开阔学生的解题思路，提升解题质量。十字相乘法可以说初等数学与高等数学之间的纽带，涉及的知识范围较广，灵活利用因式分解可以实现快速解决问题，但其方法也存在一定的限制性。教师在教学过程中应合理进行应用，注重学生思维能力的培养，消除十字相乘法中存在的猜想因素，以提升学生的数学综合素养。

参考文献：

[1]罗峻，段利芳.十字相乘法在含参二次方程（函数）问题中的应用[J].数理化学习（初中版），2019，11（01）：19-23.

[2]何卫群.把握已有教学资源，设计有效教学活动——“因式分解之十字相乘法”研究课题教学片断及思考[J].数学学习与研究，2018，14（22）：121.

[3]易丽萍，张文丽.对知识过程性探索的思考——记《十字相乘法》引入部分的教学[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019，14（16）：13-15.

[4]于大平.初中数学微课程的实践探索——以“十字相乘法”分解因式微课程开发为例[J].数字教育，2018，2（01）：77-81.

作者简介：

马玉龙（1981.12-），男，彝，云南香格里拉，一级教师，本科，云南香格里拉市一中，初中数学数学，674499。