主范式及其应用

白昊月

本文介绍了命题公式主范式的基本定义及相关定理，并对其作出了相应解释，探讨了命题公式主范式的求法：等值演算法，以及它的用途，最后给出了主范式的应用，并联系实际对这些应用加以阐述.

1 主范式可分为主析取范式与主合取范式。

主析取范式是所有简单合取式都是极小项的析取范式，主合取范式是所有简单析取式都是极大项的合取范式.其中，命题变项及其否定统称为文字，仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式，仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式;由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称作合取范式，析取范式与合取范式统称作范式.

求给定公式的范式在题目中十分常见，任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式，其求解步骤为：

1）消去联結词： →， ?

2）用双重否定律消去双重否定符，用德摩根律内移否定符。

3）使用分配律：求析取范式时使用∧对∨的分配律，求合取范式时使用∨对∧的分配律.

在含有n个命题变项的简单合取式或简单析取式中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或按照字典顺序排列，称这样的简单合取式或简单析取式为极小项或极大项.

在学习中，通常把主范式分为主合取范式与主析取范式进行研究.最常见的一类问题是给出指定公式，求出与其等值的主析取范式和主合取范式.首先要清楚任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的;还要熟练掌握等值式的运用.

2 根据主析取范式与主合取范式的特殊关系，若某命题公式的主合取范式以得出，则可直接得出主析取范式。

以主析取范式为例，讨论其用途。主.析取范式像真值表一样，可以表达出公式以及公式之间关系的一切信息.

2.1 求公式的成真赋值与成假赋值.

2.2 判断公式的类型

设公式A中含n个命题变项，则易得出：

（1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2?个极小项.

（2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项.此时，记A的主析取范式为0.

（3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项.

2.3 判断两个命题公式是否等值.

若两个公式A，B的主析取范式相等，则A与B等值.为使主析取范式的用途更直接地表现出来，可举例说明，

3 在实际生活中我们随时都会应用主范式分析和解决问题，如在学校中的课程安排问题：某班下学期有A，B，C，D，E五门课，特定要求是：

1）A，B不能安排在同一天上课

2）C是B的实验课，如果有课程B，当天便有课程C

3）D，E是同一任课教师，该教师要求两门课不能排在同一天

命题公式主范式作为数理逻辑的重要概念，在理论和应用中十分重要.本文简单介绍了主范式的基本定理与相关应用，力图增加读者对主范式的认识和了解。

（作者单位：吉林师范大学）