Mathematica在大学数学教学中的应用

蔡浩江 房敏 王婧嘉

【摘要】随着现代信息技术以及计算机辅助教学的蓬勃发展，最新的信息技术已经在高等院校的日常教学中越来越普及.在大学数学的教学领域中，信息技术的应用，可以使艰深、复杂的数学理论和公式变得简单直观.将Mathematica这款非常实用的数学软件与传统教学相结合，构建符合学生认知规律的教学模式是提高大学数学教学质量的有效方法.实践证明这种教学模式的建立对培养学生的数学思维，激发学生的学习主动性，提高教学效果有着非常重要的作用.

【关键词】计算机辅助教学;数学软件;Mathematica

一、目的与意义

高校的数学教学中，传统的教学方法强调数学理论的连续与严谨，采用以教师为主导的灌输式的数学教学模式，使原本就比较抽象难懂的数学定义与概念变得难上加难.

信息时代的到来，移动终端的使用，使传统教学模式受到了强烈冲击.当前，学生获取知识的渠道变得更为丰富，各种MOOC、微课学习视频及其他丰富的网络教学资源都为学生的课外学习提供了条件.

但是与传统教学相似，各种网络教学资源仍注重于学生掌握严谨的数学理论和计算能力，忽略了理论知识的推导以及创新思维的培养，淡化了理论推导过程中的猜想、观察、实验、归纳、类比、抽象等环节，忽视了学生的主体地位，弱化了学生自主探索的学习过程，不利于培养学生的应用与创新能力.对大多数学生而言，这些资源的利用虽然能够在一定程度上提高他们的学习效率，但仍然无法将所学的数学知识应用于其他课程及解决实际问题，学生的逻辑思维能力、创新与应用能力并没有显著提高.

教学实践证明，数学软件与传统课堂教学的有机结合，是提高学生创新思维和应用能力的一条行之有效的途径.一方面，数学软件可以使用图像展现数学深奥的理论，可以加强学生对抽象知识的理解.另一方面，为了贯彻实施素质教育，教师还可以设计数学课程的实验教学环节：提出典型实际问题，引发学生思考，培养学生的数学思维;在教师的启发下分析问题、探索问题，从而提高学生的创新精神和实践能力;利用数学软件进行数学实验，使学生对教学内容有了直观认识，从而提升学习兴趣，提高研究能力.学生在使用数学软件解决问题的过程中找到了理论与实际的结合点，体验到了“学”和“用”的和谐统一，获得了学习带来的成就感，学习兴趣和动力会得到长效的保持.

二、计算机辅助教学的可行性

教学硬件的改善为软件的使用提供了保障條件.Matlab、Mathematica、Maple并称为三大数学软件.Matlab是Math Works公司出品的数学软件，用于算法开发、数据分析以及数值计算;Mathematica是由美国的Wolfram Research公司开发的数学软件，其在图形、数值、代数等方面应用广泛;Maple是由加拿大Waterloo大学开发的科学计算软件，拥有优秀的符号计算和数值计算能力.它们各有所长，但就高校计算机辅助教学及实验教学而言，Mathematica更具优势，原因有：第一，Mathematica有与数学教材完全相同的基本数学符号输入界面，见图1，不需要太多的课堂时间讲解，学生即可上手使用;第二，自定义函数的写法，各类函数的输入和输出，更接近语言的表达顺序，简单易懂;第三，绘制的三维图形可以方便地调整观察视角，有利于学生对空间图形的直观认识;第四，符号运算方便、简洁，容易掌握.

因此，将Mathematica数学软件引入数学教学中具有很好的可行性.通过它，可以将复杂抽象的计算问题按照人们习惯的书写格式输入和输出，学生容易掌握，还可将复杂的函数关系用图形的形式展现出来，便于将抽象的问题具体化、可视化.

本文将以Mathematica的几个辅助实验为例说明与传统教学相结合的教学模式对提高大学数学教学效果的积极作用.

三、Mathematica软件在辅助教学的应用

（一）在观察数列变化趋势中的使用

在高等数学的教学过程中，极限作为微积分学的基础，无疑是最重要、最基础的环节.但在通常的教学中，大部分学生并不容易发现数列规律.借助Mathematica程序给出的直观图示，可以帮助他们发现数列的规律，进而理解数列收敛的本质.例如，可以从复利问题引入重要极限 limn→∞1+1nn，激发学生的学习兴趣，再借助Mathematica程序绘出数列变化的直观图示，如图2所示：

学生从图像中观察到了数列变化的特点，直观的感受使学生对公式首先有了感性认识，以此为基础，再利用二项展开式进行公式的推导和理论证明，从而使学生上升到理性认识.此过程遵循了猜想、观察、实验、归纳、类比、抽象的环节，重在思维方式的启发与培养，引导学生独立思考并提升了学生学习的积极性和主动性.

（二）在函数绘图中的使用

在传统的高数课堂教学中，由于缺乏对复杂函数图像的描绘等教学环节，对很多学生而言，曲线的直角坐标方程、极坐标方程及参数方程3种表达方式之间相互转化;不同坐标系下的三重积分的计算;线、面积的计算;隐函数的概念等知识点一直以来是都是难点问题.“数”与“形”之间不能完美的结合，使得部分学生缺乏直观认知，造成概念混淆，无法深入理解相关知识.但是在计算机辅助教学中，我们就可以借助Mathematica中的绘图软件，在教学过程中绘制复杂函数的图像，“数”与“形”的有机结合，可以使抽象函数具体化，加深学生对函数以及相关知识的理解.使用Plot、PolarPlot、ParametricPlot函数绘制一元函数、极坐标函数、参数方程表示的二维图形，使用Plot3D、RevolutionPlot3D、SphericalPlot3D、ParametricPlot3D函数绘制二元函数、柱坐标函数、球坐标函数、参数方程表示的三维图形，使用ContourPlot绘制隐函数图形.还可以通过CoordinateTransform函数实现直角坐标Cartesian，极坐标Polar，柱坐标Cylindrical，球坐标Spherical之间的相互转换.如图3绘制了极坐标方程ρ=cos2θ表示的四叶玫瑰线和方程x3+y3-3xy=0确定的函数曲线.

还可以通过Animate函数绘制动画，演示摆线、旋转曲面等图形的形成过程，如图4所示，帮助学生更好地理解所学内容并增强学生的学习兴趣.

（三）在定积分和二重积分定义中的使用

积分在数学、物理、机械、电子、军事等方面均有着广泛应用，但积分的概念对大部分学生而言却是难以理解的.在教学中，我们一般通过求曲边梯形面积和曲顶柱体体积的问题引入，需要经过“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤进行.其中“取极限”这一环节，课堂教学仅通过语言描述表达，没有相关的实验环节，学生缺乏直观的感性认知以及从具体到抽象的思维过程，无法深入、透彻地理解相关概念，难以获得较好的教学效果.通过Mathematica绘制具体例子的图示，如图5所示，以图形直观的方式呈现，远胜于教师的口头讲解，有助于学生加深印象并理解概念.

（四）在大数定律中的使用

大数定律是概率统计中的重要定理，揭示了n个相互独立的随机变量的算术平均值当n→∞时依概率收敛于其数学期望.为了帮助学生更好地理解大数定律，可以利用Mathematica给出直观演示.例如，在讲授辛钦大数定律时，利用Mathematica的Random和NormalDistribution函数，产生n个相互独立且服从正态分布N（1，22）的随机变量X1，X2，…，Xn，考查当随机变量个数n逐渐增多时，它们的算术平均值的变化情况.图6分别给出了当n=10，100，1 000，10 000四种情况下，重复试验50次，n个随机变量的算术平均值的分布情况.

从图6可以明显看出，当n=10时，10个相互独立的随机变量的算术平均值与μ=1有很大偏差，但随着n越来越大，n个相互独立的随机变量的算术平均值越来越密集在μ=1这条直线附近.由此可见，传统教学中复杂、艰深的数学定理，借助于数学软件的帮助，以直观易懂的图形图像展示给学生，使得复杂抽象的理论知识变得简单、具体，让学生印象深刻，从而取得较好的教学效果.

四、计算机辅助教学的优点

（一）有利于学生自主学习

数学课程的教学强调进行交互式教学以及以学生为中心的自主学习，在课前、课中和课后都以学生为主体、教师为主导.数学软件辅助教学，使得作为主体的学生，对课程知识的获取和掌握不再完全依赖于任课教师的课堂教学，可以利用更多的课外时间自主学习.

（二）有利于学习成绩的提高

在运用计算机辅助的交互教学过程中，将Mathematica软件引入到数学课堂，使抽象的概念、函数、公式变得直观形象，学生在数学模型的动态展现中更加深刻地理解理论知识，提高课堂的教学效率，提升学生的学习兴趣.学生在学习过程中遇到难题，也可以通过讨论，查找资料，编寫程序等多种方式加以解决.

（三）有利于实践能力的培养

在课程教学中，我们运用Mathematica软件进行交互教学，让学生通过自主学习的方式不仅掌握有关定理、公式，而且能够熟练掌握一门数学软件.既增强了学生的自学能力，还提高了学生的动手能力，也培养了学生的实践应用能力.

五、结束语

在数学课程中运用Mathematica软件进行辅助教学，充分利用数学软件的计算和绘图功能，加强了数学教学的简便性和直观性，使得“数”与“形”有机结合，“教”与“学”相得益彰，不仅有助于提高课堂教学效果，还有助于培养学生利用数学软件探究问题的意识.学生在课后利用课外教学资源自主学习、表达和解决实际问题时，也可以方便地使用软件辅助，既促进了学生学习成绩的提高，也培养了学生理论联系实际的能力.教学实践证明，在数学教学中充分利用辅助软件是一种比较科学有效的教学方法，能够激发学生的学习兴趣，活跃课堂氛围，提高课堂教学效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

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[3]朱开永，王升瑞，李媛.概率论与数理统计[M].上海：同济大学出版社，2013.

[4]Wolfram S.Mathematica全书[M].赫孝良，周仓义，译.西安：西安交通大学出版社，2002.

[5]王绍恒，王艺静.Mathematica软件在大学数学课程教学中的应用[J].教育理论与实践，2013（21）：39-40.

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