“对称与群”教学案例

刘永瑞

一、课程开发方案

1.开设缘由。

首先，课程“对称与群”是近代代数学分支，概念丰富抽象，数学符号语言较多，开设这门课程可锻炼学生阅读数学语言、理解数学抽象概念的能力。

其次，群论是19 世纪才逐步发展起来的近代数学理论，相对于中学数学知识而言要“先进”很多，选修这门课程的学生能通过这扇窗户了解到一些近代数学的概念和公理化体系，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。

基于以上考虑分析，以人教版选修3-4 教材“对称与群”为参考，结合校本的实际情况，用讲座的方式开设这门课程。

2.课时设计。

本课程共安排6 讲12 课时。课程实施过程中，可以根据实际情况调节具体进度、增减章节。这6 讲课程的具体内容见下表。

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二、课程实施案例展示

下面以“平面刚体运动的定义”这一内容为例，展示教学过程。

1.情景引入。

观察我们身边的事物，可以发现，对称是现实世界和日常生活中大量存在的现象，蝴蝶的翅膀、昆虫的触角、飞机的机身都有轴对称性。

“对称”是一种非常普遍的自然现象，它在物理学、化学和生命科学中得到广泛的研究和应有；同样地，在数量关系、空间形式中“对称”现象也大量存在，因而它也是数学研究的重要对象，对其的研究成果形成了系统的数学理论。

2.构建概念。

定义1：如果一个平面图形沿着平面上一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么，这个图形叫做轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。

定义2：把一个平面图形绕平面上某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点称为对称中心。

对“对称性”的研究常常可以使我们加深对物体性质的认识，在我们的课程中，将借助新的数学概念来研究各种各样的“对称性”，介绍关于“对称”的数学理论。

（1）反射变换的定义。现在我们换个角度来考察刚才的定义1 和定义2。我们知道一个平面可以看成是点的集合，就像我们把直线看成点的集合一样，设α 是一个由平面内的所有点组成的集合，l 是这个平面内的一条直线，定义点集α 到其自身的一个映射r：P→P′，其中r 把平面α 内的任意一点P 映到关于直线l 的对称点P′，我们把这个映射称为平面α 关于直线l的反射（reflection）。

（2）变换观念下看轴对称图形。可以知道，在反射变换r 的作用下，平面α 内的点被映到点，平面α 内的图形被映到与它全等的图形，这时，如果一个图形在映射r 的作用下仍与原来的图形重合，我们就称这个平面图形是一个轴对称图形。

那么，如何用变换的观念看中心对称图形呢？

（3）变换观念下看中心对称图形。180°旋转变换：设α 是一个由平面内的所有点组成的集合，O 是平面α 内的一个固定点，定义点集α 到其自身的一个映射ρ：P→P′，ρ 把平面α 内的任意一点P 绕点O 旋转180°后映到点P′，这个映射称为以点O 为中心的180°旋转（rotation）。

一般地，如果一个平面图形在映射ρ 的作用下仍与原来的图形重合，我们就称这个图形是一个中心对称图形。

思考题：按着这个定义，平行四边形、正六边形、圆都是中心对称图形吗？这个定义与前面的定义2 等价吗？

（4）旋转变换与恒等变换。我们可以对以O为中心旋转180°的旋转进行推广：表示平面内以一个固定点P 为中心转任意给定角度的旋转，这样定义的映射在数学上称为旋转变换。旋转角度为0°的旋转变换把平面上的所有点映到它自身，这个映射使整个平面上的每个点都保持不动，所以称为恒等变换（identity transformation）。

提炼：可以发现反射变换和旋转变换有一个共同点——保距性，即对于平面内的任意两点P 和Q，在变换的作用下得到点P′和Q′，满足|PQ|=|P′Q′|，借用物理学中的名词，我们把这类“保持距离不变”的映射称为平面刚体运动。

（5）平面刚体运动的概念。定义：设α 是一个平面，映射m：平面α→平面α 是一个一一映射，若m 保持平面α 内任意两点间的距离不变，则称m 是一个平面刚体运动（the rigidmotion of the plane）。

3.课后思考问题。

寻找身边有趣的平面刚体运动的例子，并用代数语言解释描述。