小学数学问题解决认知的研究、模拟及其教学启示

陈芳

摘 要：在素质教育理念下，问题解决能力是小学生必须具备的数学素养，需要受到广大小学数学教师的重视。基于此，文章从小学数学问题解决认知的相关理论入手，以“异分母分数相加”问题为例，对小学数学问题解决认知进行模拟，并将福建省福清市融西小学的六名学生作为研究对象，将六名学生的实践解题认知过程与模拟过程进行对比，得出相应的教学启示，以期为小学数学教师开展课堂教学提供帮助。

关键词：小学数学;“异分母分数相加”;产生式

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-02-25 文章編号：1674-120X（2019）22-0065-02

认知研究是学术界研究的热点问题，也是教育领域关注的重点。新课程标准明确指出，小学数学的教学内容需要符合学生的认知规律。教师加深对数学问题解决认知流程的认识，可以更为深入地了解学生的认知规律，从而能针对性地开展课堂教学，并且能选择合理的教学内容及教学方法，提升小学数学课堂教学有效性。因此，教师对小学数学问题解决认知的研究是很有必要的。

一、小学数学问题解决认知的研究综述

新课程标准明确指出，小学数学教师需要确保教学内容、教学方法符合小学生的认知规律。因此，在开展小学数学课堂教学时，教师需要注重对学生问题解决认知能力的培养。在认知研究领域，很多研究学者都通过计算机进行问题解决认知过程的模拟，以此体现人类的问题解决认知过程。目前常用的认知模拟工具为卡耐基梅隆大学的心理学家安德森研发的ACT-R6.0，安德森的团队将海量人类心理学实验数据作为基础，通过计算机进行人类认知行为的模拟。在此基础上，安德森团队将ACT-R工具应用于数学问题解决认知领域，通过ACT-R工具对方程式“7x+3=38”的解题认知过程进行模拟，为小学数学问题解决认知分析提供了丰富的理论基础。

虽然学术界关于小学数学问题认知的研究较为丰富，但是仍旧存在如下不足，需要进一步研究。第一，计算机在进行数学问题认知模拟的过程中，是从机器的角度进行分析，并没有考虑小学生的实际思维发展，应用的解题方法也可能超过小学生所掌握的知识内容，难以给小学数学教学提供指导;第二，学术界关于认知领域的研究，大都从宏观角度入手，与小学数学的交叉不够深入，难以为小学数学教学提供指导[1]。由此可以看出，在进行问题解决认知领域的研究时，小学数学教师需要以前人的理论作为基础，结合小学数学的实际教学内容和小学生的身心发展规律，有针对性地进行小学数学问题解决认知过程的模拟，为小学数学课堂教学提供有价值的参考。

二、小学数学问题解决认知在“异分母分数相加”问题中的模拟

为了实现小学数学问题解决认知的有效模拟，为小学数学课堂教学提供指导，提升小学数学课堂教学的有效性，加深学生对数学知识的认识，本文以小学数学五年级“分数的意义和性质”这一课程中的“异分母分数相加”问题为例。

（一）“异分母分数相加”问题分析

“异分母分数相加”是小学数学中代表性的程序性知识，可以将“异分母分数相加”作为基础进行数学问题解决认知过程的模拟。根据小学数学教材内容的安排，在进行“异分母分数相加”知识点的学习之前，学生已经完成自然数倍数特征以及最小公倍数等知识点的学习。在1～100的所有自然数中，学生可以迅速找出10以内自然数的全部倍数以及10以内两个自然数的最小公倍数。在此基础上，本文将“异分母分数相加”知识点作为基础，进行了如下数学问题的设计。在一张长方形纸张中进行绘图，需要将纸张的部分涂为红色;将纸张的部分涂为黄色，两种颜色不可以重叠。也就是说，涂红色的地方不可以再涂黄色。要求学生计算红色和黄色一共占据整个纸张的多少。以该数学问题作为研究对象，进行小学数学问题解决认知流程的模拟。

（二）“异分母分数相加”问题解决认知模拟

在对数学问题解决认知分析的过程中，需要明确数学问题的解决认知流程。通常来说，数学问题解决认知流程包括视觉模块、产生式模块、提取模块、目标模块、问题状态模块以及输出模块这六个部分。对于上文中设计的问题来说，其解决认知流程如下：①在学生观察上述问题之后，会对题干及题意进行分析，结合自身掌握的数学知识，将解题关键明确定为“异分母分数相加”这一知识点，并将题干内容转变为数学语言，从而明确该数学问题的考查知识点，即问题的解决在于求“+=？”上述过程为应用问题和计算问题的有效转变;②在明确计算问题后，学生会形成相应的产生式，即异分母分数相加所用到的知识点为最小公倍数的计算，将计算问题转变为求“3和5的最小公倍数”;③根据以往学习的数学知识，计算出3和5的最小公倍数为15;④求出最小公倍数后，对计算问题中的数值进行通分处理，将变为、将变为;⑤按照以往学习的数学知识，将和进行相加，得出最终的结果。

在上述认知过程中，观察题干属于视觉模块，学生通过视觉观察并理解题干内容;应用问题和计算问题的转变属于问题状态模块;“+=？”问题的明确属于目标模块;异分母分数相加转变求最小公倍数、3和5的最小公倍数为15以及通分处理属于产生式模块;数据计算过程属于提取模块;获得数据结果属于输出模块[2]。通过结合不同认知模块，学生能够准确解答数学题目。

（三）“异分母分数相加”问题模拟和实践的对比

为了明确数学问题解决认知过程模拟和实践过程的差异，笔者在福建省福清市融西小学五年级选择六名同学作为实践对象，在优等、中等和差等中分别选择排名相差两位的学生，男生女生各三名。在开展“异分母分数相加”问题认知实践之前，笔者向六名学生提出了如下问题：“五年级学生开展了跳绳测验，某一小组的七名同学的一分钟跳绳成绩如下：170、138、145、132、136、138、140，你认为上述七个数字中，哪个更能体现出该小组的平均水平。”

在“异分母分数相加”问题认知实践过程中，笔者要求学生大声读题，并将自己解题的想法大声说出来，并以“跳绳”问题为例，为学生进行示范，使学生能够出声思考;然后，将学生的解题过程记录下来，并将其整合为口语报告，明确每名学生的解题认知过程。观察口语报告可知，A、B、C、D、F五名学生在解决“异分母分数相加”问题时，均应用通分处理、求最小公倍数以及同分母相加的内容。但是在求最小公倍数这一过程，A同学指出，3和5互为质数，两者的最小公倍数为3×5=15;B和C同学直接指出：3和5的最小公倍数为15;F同学在解题过程中应用的产生式错误，使解题出现错误[3]。

三、小学数学问题解决认知的教学启示

通过上述“异分母分数相加”问题的解决认知模拟及实践对比可知，学生的实际数学问题解决认知过程和模拟过程相差无几，但是也存在出现错误产生式的状况。因此，在小学数学课堂教学中，教师需要注意以下几点：

第一，注重教学的差异化，根据口语报告的内容，A、B、C三名学生在最小公倍数的求法方面存在差异。A同学指出，3和5是互质数，两者的最小公倍数为3×5=15，这是因为A同学激活了长时陈述性记忆中的“互质数”概念，利用互质数的性质进行最小公倍数的计算，再激活相应的最小公倍数的计算方法，即两者相乘。而B和C两名学生直接得出“最小公倍数是3×5=15”的结果，是因为他们直接激活了长时程序性记忆。由此可以看出，不同学生在解答数学问题时，采用的解题方法和思路有所差异，所以数学教师需要充分认识学生的不同认知能力，引导学生从多个角度解答数学问题，提升学生的数学思维能力。

第二，简化内部认知流程，在上述A、B、C三名学生的对比中，A学生由于考虑了“互质数”的概念，所以其认知过程花费的时间要多于B和C两名学生。由此可以看出，在学生进行数学问题解决认知过程中，其内部认知流程可以简化。通过长时间的数学问题认知训练，可以将学生的内部认知操作融合为一个内容，以此形成“组块”，这有助于学生数学问题解答效率的提升。以如下产生式规则为例，P1：A→B、P2：B→C;P1和P2时常同时激活，所以两者可以进行融合，形成全新的产生式规则：P3：A→C。上述内容被数学家安德森称作“自动化”（Speed Up）现象，一般来说，数学成绩优异的学生在“自动化”知识方面的掌握程度，要优于数学成绩较差的学生。因此，在开展小学数学课堂教学时，教师需要注重学生内部认知流程的简化，加深学生对“自动化”知识的认识，提升学生的数学思维及解题效率。

第三，注重正确产生式的认识。在上述“异分母分数相加”问题实践中，F学生由于错误产生式的形成，得出了的答案，没有正确解答问题。根据笔者的分析，F学生错误产生式形成的原因在于F学生对分数的认识存在偏差，在长时陈述性记忆中对分数的认知不正确;或者F学生对通分的认识存在偏差，不明确通分的含义及方法，导致解题错误。因此，在小学数学课堂教学中，教师需要引导学生形成正确的产生式。具体而言，在小学数学课堂教学中，教师需要明确学生错误产生式形成的过程，并对学生的产生式形成過程进行干预，引导学生形成正确的产生式，提高学生的数学知识应用能力。以F学生为例，其口语报告中显示，F学生可以正确认识分数的分子和分母，其错误出现的关键在于，将“异分母分数相加”认为是“分子相加为新分子、分母相加为新分母”，教师需要引导学生采用正确的流程进行“异分母分数相加”的计算[4]。

综上所述，小学数学解题认知流程较为复杂，不同学生的解题认知流程存在差异，教师需要在教学中注重学生的差异化特征。计算机对数学问题解决认知模拟的内容和实践基本相同，数学教师可以借鉴模拟数学问题解决认知流程，进行教学方案的设计，并注重学生的差异化，引导学生简化认知操作，逐步形成正确的产生式，加深学生对数学知识的认识，提升学生的数学成绩。

参考文献：

[1]李佳欣.小学生数学问题解决能力培养现状及策略研究[D].沈阳：沈阳师范大学，2018.

[2]曹雪洁.小学数学问题解决认知模型研究[J].内蒙古教育，2018（4）：78-79.

[3]程敏俊.小学数学探究问题设计研究[J].数学学习与研究（教研版），2017（22）：65.

[4]杨 琪.小学数学（低学段）提高“问题解决”能力的教学策略研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2017.