运用合情推理，建构知识体系——以“求一个数是另一个数的几分之几是多少”的教学为例

江苏南京晓庄学院附属小学 顾新佳

新课程标准在“课程设计思路”部分明确指出：“推理能力的发展应贯穿整个数学学习过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”推理一般包括合情推理和演绎推理。“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。合情推理又有归纳推理、类比推理等形式。”笔者在执教苏教版数学六年级上册“求一个数是另一个数的几分之几是多少”一课时，充分运用合情推理，帮助学生理解“求一个数是另一个数的几分之几是多少”可以用乘法计算的合理性，并通过类比分数乘整数的计算，帮助学生建立分数乘法的知识模型。

一、运用合情推理，完善数量关系认识

“求一个数是另一个数的几分之几是多少”的实际问题，是对乘法运算意义的一次重要扩展，同时也是后面分析并解决分数、百分数实际问题的前提，是分数的认识及其运算内容中的核心知识。笔者在几次试上的过程中，发现教材在引导学生用整数乘、除法算出红花有多少朵后，教材直接出示：“求10朵的是多少，可以用乘法计算。”对于这样的直接告知，学生普遍表示不大理解。于是，笔者运用合情推理中的类比推理，由求“倍数”类推到求“几分之几”也可以用乘法来计算。课始，笔者出示三道复习题：

（1）合唱队有女生16人，男生8人，女生人数是男生的几倍？

（2）图书馆有科技书80本，文艺书70本，科技书本数是文艺书的几倍？

（3）李伯伯家养了4只母鸡，5只公鸡，母鸡只数是公鸡只数的几分之几？

学生答完题后，问：这三道题有什么相同的地方？

生1：这三道题，都是求几倍的。

生2：我补充一下，这三道题，有的是求谁是谁的几倍，有的是求谁是谁的几分之几。

生3：老师，我再补充一下，其实不管是求谁是谁的几倍，还是求谁是谁的几分之几，都是在求数量之间的倍数关系。

师：几分之几也可以表示倍数关系吗？

生3：我觉得可以，只不过因为是几分之几，说明前一个数量比后一个数量小了，我们一般不说“倍”了。

小结：嗯，总结得真好，不管是求一个数是另一个数的几倍，还是几分之几，都表示求数量之间的倍数关系。

《现代汉语词典》中对“倍数”的解释是：“倍数，表示一个数除以另一个数的商。”同样，几分之几，也是表示一个数除以另一个数的商。两者在意义上是相同的。合情推理的本质是“发现—猜想”，本环节从学生已有的知识经验出发，引导学生通过观察题组的相同点，让学生类比出不管是求一个数是另一个数的几倍还是几分之几，都表示倍数关系，使得学生完善了对数量关系的认识。

二、运用合情推理，明晰计算方法

三组复习题过后，学生心中已经建立了对倍数关系的完整认识，在此基础上，我们继续设计题组训练，通过类比推理，帮助学生明晰计算方法。

1.题组类比：帮助学生理解算法的合理性

课件出示三道练习题：

⑴学校田径队有20人，跳绳队人数是田径队人数的3倍，跳绳队有多少人？

前两题，学生很快根据数量关系，分别用乘法算出了结果。第三题，学生出现了两种不同的方法：（1）运用整数乘、除法计算；（2）直接用分数乘法计算。

所谓类比推理，是根据两个或两类对象在一系列属性上是相同或相似的，而且已知其中的一个或一类对象还具有其他的属性，从而推出另一个或另一类对象也具有同样的其他属性的推理。求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算这个道理我们没有选择直接告知学生，而是通过题组训练，引导学生类比推理，得到三题都是研究数量间的倍数关系，从而顺利推出：“求小红邮票多少张，也可以直接用来计算。”

但是，类推到这一步并未结束，而是通过学生呈现的两种算法的进一步对比，通过演绎推理，证明用乘法计算的合理性，从而帮助学生顺利完成对算法合理性的把握。

2.题组类比：引导学生验证结论的正确性

通过三道例题的类比，学生得到了“求一个数的几分之几是多少”可以直接用乘法计算，虽然学生也经历了演绎推理的证明，但毕竟学生是初次接触类似的算法，要想在学生脑海中建立完整清晰的计算方法模型，就必须强化训练。于是，笔者继续出了一组题：

（1）红花有多少朵？

（2）绿花有多少朵？

师：求红花多少朵，就是求什么？ 求绿花呢？

学生独立计算。

根据统计，大约有超过93%的学生选择直接用乘法计算，并且学生对选用乘法计算的道理讲得也非常清晰。

通过上述题组的训练，学生再一次经历了求一个数的几分之几是多少的计算方法，进一步巩固了可以直接用乘法计算结论的正确性。

三、运用合情推理，建构知识体系

1.对比练习，清晰分数乘法意义的结构

从运算的意义来说，分数乘法有两种意义，既可以表示几个相同分数连加的和，也可以表示“求一个数的几分之几是多少”。为了帮助学生清晰地认识分数乘法的意义，我们设计了一组对比题。

学生独立地做题。

师：这两道题有什么相同的地方吗？

生2：都是有关分数的实际问题，根据数量关系，都可以用乘法计算。

2.独立编题，丰富分数乘法意义的认识

学生通过上述两道题的类比推理后，加强了对分数乘法意义的认识。这时，笔者趁热打铁，要求学生编写一道用分数乘法计算的实际问题。学生根据对分数乘法意义结构的认识，创造性地编写出了许多符合要求且有价值的实际问题。（如图1、图2、图3和图4、）

图1

图2

图3

图4

通过题组对比和编题训练，将第一课时“分数乘整数”意义与本节课学习的“求一个数的几分之几是多少”的意义相勾连，学生能够从对比分析中，感受到分数乘法的意义，帮助学生建立分数乘法意义的知识体系。

四、差异对比，强化对分数乘法意义的理解

在帮助学生巩固了对分数乘法意义的清晰认识的基础上，笔者进一步通过类比推理的训练，强化了学生对分数乘法意义模型的深刻理解。

师：为什么前两题可以用乘法计算？

师：为什么第三小题你们用了减法。

师：做完这三道题，你有什么想说的吗？

生3：有的分数问题是可以用乘法计算的，有的分数问题是可以用减法计算的。

生4：并不是所有题目都可以用乘法计算的，要看清楚数量关系再计算。

生5：只有当求一个数的几分之几是多少或者几个相同的分数连加的时候才能用分数乘法。

生6：老师，我还想到一道题，就是“长方形的长是4米，宽是米，求长方形的面积是多少”。这也可以用乘法计算，但是它不属于我们今天学习的情况。

学生通过差异化问题的对比分析，进一步巩固了对分数乘法意义模型的认识，将学生脑海中的新旧知识有机地联系起来，形成了完整的知识网络。

能力的发展绝不等同于知识与技能的获得，能力的获得是一个缓慢吸收内化的过程，有其自身的特点和规律。合情推理能力的发展同样具有其特点和规律，需要我们在平时的教学过程中加强研究。合情推理的实质是“发现”，学生如何将自己通过做题和观察所得的“发现”表达出来是形成推理能力的重要表现。几何直观可以帮助学生清晰地表达自己的推理过程。如在执教苏教数学版六年级上册“求一个数是另一个数的几分之几是多少”一课时，我们给出了图例，并引导学生在图上画一画，通过画图将算理和算法讲清楚。

新课程标准指出：“教师要重视学生合情推理能力的培养，在观察、实验、猜想、验证等活动中，促进学生合情推理能力的发展，使学生能有条理地思考问题。”在平时的教学过程中，教师应有效运用合情推理，有助于提升学生的推理能力和对知识体系的理解。